BZOJ 3884——欧拉降幂和广义欧拉降幂

理论部分

欧拉定理：若 $a,n$ 为正整数，且 $a,n$ 互质，则 $a^{varphi (n)} equiv 1(mod n)$.

降幂公式：

$$a^b=
egin{cases}
a^{b \% varphi(p)} &  gcd(a,p)=1 \
a^b &  gcd(a,p) eq 1,b < varphi (p) \
a^{b\% varphi (p) + varphi (p)} & gcd(a,p) eq 1,b geq varphi (p)
end{cases}$$

题目

求 $2^{2^{2...}} mod p$ 的值，$T$组询问。$T leq 1000, p leq {10}^7$

 分析：

首先，必须明确模意义下的无穷与真正的无穷是有区别的，（不然无穷的怎么求值

由降幂公式，当 $x geq varphi (p)$ 时（这道题中 $x$ 一直为2的无穷次方，肯定大于 $varphi(p)$），

$$a^x equiv a^{x \% phi (p) + varphi (p)}(mod p)$$

所以，令 $f(p) = 2^{2^{2...}}(mod p)$，$f(1)=0$， 

$$\f(p)=2^{(2^{2^{...}} mod ; phi(p)) + phi(p)}mod ; p \=2^{f(phi(p)) + phi(p)} mod p$$

因此可以递归求解。

时间复杂度是多少呢？

求 $phi(p)$ 是 $sqrt p$，进行 $varphi (varphi (...varphi (p))) = O(logp)$ 次，直至为1，

所以总的复杂度为 $O(sqrt p log p)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
int p;

ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret = ret*a%p;
        a = a*a%p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int euler_phi(int n)
{
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)  n /= i;        //除尽
        }
    }
    if (n > 1)  ans = ans / n * (n - 1);    //剩下的不为1,也是素数
    return ans;
}

int f(int p)
{
    if(p == 1)  return 0;
    int phip = euler_phi(p);
    return qpow(2, f(phip)+phip, p);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &p);
        printf("%d
", f(p));
    }
    return 0;
}

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/43955611

2. https://blog.csdn.net/qq_37632935/article/details/81264965