上一节介绍了点修改与区间查询的线段树，事实上，线段树还可以做得更多。本节讨论区间修改问题。
给出一个$n$个元素的数组$A_1,A_2,...,A_n$，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作：
- $Add(L,R,v)$：把$A_L,A_{L+1}, ..., A_R$的值全部增加$v$
- $Query(L, R)$：计算子序列$A_L,A_{L+1},...,A_R$的元素和、最大值和最小值
点修改只会影响到$logn$个结点，但区间修改在最坏情况下会影响到树中的所有结点，比如，如果对整个区间执行$add$操作，所有结点的$sum$都会发生改变。怎么办呢？
回忆前面区间查询时的一个结论：任意区间都能分解成不超过$2h$个不相交区间。利用这个结论，我们可以“化整为零”，把一个$add$操作分解成不超过$2h$个操作，记录在线段树的结点中。
维护的信息也需要发生改变，如果仍然用$sum[o]$表示“结点$o$对应区间中所有数的和”，则$add$操作在最坏情况下会修改所有的$sum$（不管$add$有没有分解）。解决方法是把$sum[o]$的定义改成“如果只执行结点$o$及其子孙结点的$add$操作，结点$o$对应区间中所有数之和”。这样的附加信息仍可以方便地维护，而且每个原始$add$所影响到的结点数目变成了$O(h)$。
维护的代码如下：
1 void maintain(int o, int L, int R) 2 { 3 if(L == R) minv[o] = a[L]; //如果是叶子结点 4 else minv[o] = min(minv[2*o], minv[2*o+1]); //如果是非叶子结点 5 minv[o] += addv[o]; //考虑add操作 6 } 7 8 int cl, cr, v; //区间修改，[cl,cr] += v; 9 void update(int o, int L, int R) // 10 { 11 int M = L + (R-L) /2; 12 if(cl <= L && R <= cr) addv[o] += v; 13 else 14 { 15 if(cl <= M) update(2*o, L, M); 16 if(cr > M) update(2*o+1, M+1, R); 17 } 18 maintain(o, L, R); 19 }
注意，此时add操作的递归边界结点的minv是对的，其子节点（即子区间）的minv是不准确的，因为没有考虑add操作的影响。
查询操作总体上跟之前相同，但是还得考虑祖先结点对其的影响。因此，我们在递归查询中添加一个参数$add$，表示当前区间的所欲祖先结点$add$值之和（不包括本身，因为本身的add标记在maintain已考虑），方法如下：
1 int ql, qr; //区间查询,min{ql,qr} 2 int query(int o, int L,int R, int add) 3 { 4 int M = L + (R - L) / 2; 5 if(ql <= L && R <= qr) return minv[o] + add; 6 else 7 { 8 int ans = INF; 9 add += addv[o]; 10 if(ql <= M) ans = min(ans, query(2*o, L, M, add)); 11 if(qr > M) ans = min(ans, query(2*o+1, M+1, R, add)); 12 return ans; 13 } 14 }
建树的操作与点修改一模一样，不再赘述。