用群论证明费马小定理和欧拉定理

费马小定理

设m为素数，a为任意整数，且$(a, m)=1$，则$a^{m-1} equiv 1(mod m)$.

证明：

 构造一个群$G<{[1],[2], cdots, [m-1]}, equiv *>$，下证这是一个群.

封闭性:对任意[i]、[j]，假如不封闭，因为集合是除[0]外的剩余类，所以$[i][j]=0$ 

$ecause  [i][j]=0 quad [ij]=0,则m | ij，又因为 (i,m)=1 quad (j,m)=1 herefore (ij,m)=1 quad 矛盾 herefore quad G是群$ 

单位元：显然，[1]

逆元：对任意[k]，m为素数，$ecause (k, m)=1 quad herefore ks+mt=1 quad m|ks-1 quad herefore ks equiv 1(mod m) quad herefore存在[s]$

由拉格朗日定理推论：有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

设p是a的阶，$a^p equiv [1](mod m)$，$ecause p | m-1 herefore a^{m-1}={(a^p)}^t equiv 1(mod m)$

欧拉定理

设m为正整数，a为任意整数，且(a, m)=1，则$a^{varphi (m)}equiv 1(mod m)$，其中$varphi (m)$表示1，2，...，m中与m互素的数的个数.

证明：

把与m互素的剩余类作为一个集合H(即简化剩余类)，$H={[a_1],[a_2], cdots ,[a_{varphi(n)}]}$.

构造群$G=<H, equiv *>$.

封闭性、单位元、逆元与上面证明类似.