形式语言

字母表和串

定义

字母表：指一个有限的非空符号集∑，∑中元素称为字母

串：∑^*为所有由∑中元素生成的有限长度序列全体，∑^*中元素称为∑上的词（world）或串（string）,即串是有限长度的符号序列

空串：∑^*中的空序列称为空串，习惯上使用λ或ε表示，用Λ表示集合{λ}

概念

串的长度：串w中所含字母的个数（即序列的项数），记作|w|

可以这样理解，字母表是有限的符号集，串是有限长度的符号序列

连接运算：假设$w_1 = s_{1}s_{2}s_{3}...s_{n}$和$w_{2} = t_{1}t_{2}t_{3}...t_{n}$都是字母表∑上的串，则$w_1$和$w_2$的连接定义为$s_{1}s_{2}s_{3}...s_{n}t_{1}t_{2}t_{3}...t_{n}$，记作$w_{1}°w_{2}$或$w_{1}w_{2}$,°称作∑^*上的连接运算

 常见的字母表有：

• ∑={0，1}，二进制字母表
• ∑={a,b,c,...z}，所有小写字母的集合
• 所有ASCII字符的集合，或者所有课打印的ASCII字符的集合

w的n次幂：假设w是字母表∑上的串，则可以定义w上的n次幂wⁿ为：(递归定义)

• w⁰ = λ
• wⁿ = w^n-1°w,n≥1

前缀、真前缀、后缀、真后缀：

假设x,y,z是字母表∑上的串，且x=yz,则

• 称y是x的前缀（prefix）
• 如果z∉λ，则称y是x的真前缀（proper prefix）
• 称z是x的后缀（suffix）
• 如果y∉λ，则称y是x的真后缀（proper suffix）

字串：假设x,y是字母表Σ上的串，且存在字母表∑上的串z,w，使得x = zyw，则称y是x的字串（substring）

易知，字符串w的前缀个数|x|+1，后缀个数|x|+1，字串个数n(n+1)/2 + 1

形式语言

语言

分为自然语言和形式语言

自然语言：词汇、发音及其组合方法，以在一个社会群体中使用和理解，这通常称为自然语言（nature language）

形式语言：一种由标记和符号组成的形式化系统，包括该系统所容许的表达式的形成和转换的规则，这通常称为形式语言（formal language）

后者常用于建立自然语言模型及同计算机通信。

自然语言的规则及其复杂且难以规则化，而形式语言可以通过一些确定的语言构造。

语言的定义

语言是符合语法的句子的集合，下面来定义形式的“语言”：

设∑是有限字母表，∑^*上的任一个子集都称为∑上的语言（language），语言L的元素称为句子

• ∑上语言的串不必包含∑上的所有符号
• 语言可分为有穷语言和无穷语言

语言的运算

连接运算：设L1和L2是有限字母表∑上的两个语言，则可定义L1与L2的连接L1°L2为

                                              L1°L2={αβ|α∈L1，β∈L2}

L1°L2也可简写做L1L2，通常来讲L1L2 ≠ L2L1，即不满足交换律

假设∑是一个字母表，则φ(∑^*)即为∑上所有语言的全体，它在语言的连接运算下也形成特定的代数结构

定理：假设∑是一个字母表，则（φ(∑^*),°）构成一个半群

n次幂：设L是有限字母表∑上的语言，定义L的n次幂Lⁿ为

• L⁰ = Λ
• Lⁿ = L^n-1 ° L,n≥1

正闭包和星闭包：

设L是有限字母表∑上的语言

L的正闭包$L^{+} = L^{1}{cup}L^{2}{cup}L^{3}{cup}...$

L的星闭包$L^{*} = {Lambda}{cup}{L^{+}} = L^{0}{cup}L^{1}{cup}L^{2}{cup}L^{3}{cup}...$

例如，${Lambda}^{+} = {Lambda}^{*} = {Lambda}$

参考链接：中国大学mooc 刘铎 离散数学