计算机组成与设计（四）—— 加法和减法的实现

二进制加法

半加器（Half Adder）

半加器的功能是将两个1位二进制数相加。输入端口A、B，输出端口S（输出），C（进位）。

其有一个很明显的缺点：不能将低位的进位参与运算。

全加器（Full Adder）

全加器由两个半加器构成。输入端口A、B、C_in，输出端口S（和）、C_out（进位输出）。

有了全加器，只要将它简单的连在一起就能实现多位的加法器。

4-bit 加法器

例如求 (1101)₂ + (0110)₂，答案应该为和为 (0011)₂,进位为1.可以用4个全加器构成4-bit全加器来实现，如图

显而易见，这个图可以推广，所以这样就能得到32-bit的加法器。

溢出

检查加法结果是否溢出

溢出（overflow）:是指运算结果超出了正常的表示范围

• 溢出仅针对有符号运算而言的，发生溢出有两种情况：两个正数相加，结果为负数；两个负数相加，结果为正数。其实，无符号时可看作是mod 2^k(k是最大位数)，既然取模了，自然不用考虑溢出
• 有溢出不一定有进位、有进位不一定有溢出

• 有符号加法和无符号加法在运算时硬件电路是一样的，只是对结果的解读不同

　　　4-bit运算时

　　

 溢出的检查方法

“最高位的进位输入”不等于“最高位的进位输出”，说明产生了溢出。

 经过一个异或门，如果C₃₁和C_out 不相等，overflow被设为1，表示溢出。（为什么可以通过这种方法判断呢？）

对溢出的处理方式

MIPS

提供对两种不同指令分别的处理

• 将操作数看作有符号数，发生“溢出”是产生“异常”，如add rd,rs,rt   addi,rt,rs,imm
• 将操作数看作无符号数，不处理“溢出”，如addu rd,rs,rt   addiu rt,rs,imm

X86

设有“溢出标志OF”（Overflow Flag）。如果把操作看作有符号数，若发生溢出，则自动设置OF=1；否则OF=0。

二进制减法

原理

• 减法运算可转换成加法运算
• 只需将负数变成它的补码，补码与原码之间的转换规则：按位取反、末位加一
• A - B = A + (~B + 1)

实现

这其实是一个加法和减法器，与之前的32-bit加法器相比，在输入端B多了一个二选一多路选择器，当sub-mode为0，是加法模式，也没有来自低位的进位；当sub-mode为1时，是减法模式，首先B按位取反，同此同时sub-mode为是低位的进位，刚好是-B = ~B + 1.

参考链接：https://www.coursera.org/learn/jisuanji-zucheng/lecture/ydYAV/305-jia-fa-he-jian-fa-de-shi-xian