树状数组的三大应用

前文我们探讨了树状数组的原理。树状数组就是一种数据结构，它天生用来维护数组的前缀和，从而可以快速求得某一个区间的和，并支持对元素的值进行修改。但是树状数组并非只有这一种功能，变形后它还能衍生出两个功能，本文我们就来分别讨论下树状数组这三大功能。

永远要记住，基本的树状数组维护的是数组的前缀和，所有的区间求值都可以转化成用 sum[m]-sum[n-1] 来解，这点无论是在改点还是接下来要说的改段中都非常重要。

改点求段###

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这也是树状数组的基本应用。我们可以来看一下这道题 敌兵布阵。

如果看了前文 【前端也要学点数据结构】 神奇的树状数组，解法也就呼之欲出了，直接给出代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
#define N 50005
int lowbit(int x) { return x & (-x); }
int sum[N], cnt;

void update(int index, int val) {
  for (int i = index; i <= cnt; i += lowbit(i))
    sum[i] += val;
}

int getSum(int index) {
  int ans = 0;
  for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
    ans += sum[i];
  return ans;
}

int main() {
  string str;
  int n, m, t, tmp, cas = 1;
  scanf("%d", &t);
  while (t--) {
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    scanf("%d", &cnt);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
      scanf("%d", &tmp);
      update(i, tmp);
    }
    
    printf("Case %d:
", cas++);
    
    while (cin >> str) {
      if (str == "End") break;
      scanf("%d%d", &n, &m);
      if (str == "Query")
        printf("%d
", getSum(m) - getSum(n - 1));
      else if (str == "Add")
        update(n, m);
      else update(n, -m);
    }
  }
  return 0;
}

改段求点###

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改段求点和改点求段恰好相反，比如有一个数组 a = [x, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]，每次的修改都是一段，比如让 a[1]~a[5] 中每个元素都加上10，让 a[6]~a[9] 中每个元素都减去2，求任意的元素的值。

看例题 Color the ball

跟改点求段不同，这里要转变一个思想。在改点求段中，sum[i]表示Ci节点所管辖的子节点的元素和，而在改段求点中，sum[i]表示Ci所管辖子节点的批量统一增量。

还是看这个经典的图：

比方说，C8管辖A1_{A8这8个节点，如果A1}A8每个都染色一次，因为前面说了sum[i]表示i所管辖子节点的统一增量，那么也就是 sum[8]+=1，A5~A7都染色两次，也就是 sum[6] +=2, sum[7] +=2 。如果要求A1被染色的次数，C8是能管辖到A1的，也就是说sum[8]的值和A1被染色的次数有关，仔细想想，也就是把能管辖到A1的父节点的sum值累积起来即可。两个过程正好和改点求段相反。

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
#define N 100005
int sum[N], n;
int lowbit(int x) { return x & (-x); }

void update(int index, int val) {
  while (index) {
    sum[index] += val;
    index -= lowbit(index);
  }
}

int query(int index) {
  int ans = 0;
  while (index <= n) {
    ans += sum[index];
    index += lowbit(index);
  }
  return ans;
}

int main() {
  int x, y;
  while (scanf("%d", &n) && n) {
    memset(sum, 0, sizeof(sum)); 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      scanf("%d%d", &x, &y);
      update(y, 1);
      update(x - 1, -1);
    }
    
    for (int i = 1; i < n; i++)
      printf("%d ", query(i));
    printf("%d
", query(n));
  }
  return 0;
}

改段求段###

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改段求段也有道经典的模板题：A Simple Problem with Integers

我们还是从简单的例子入手，比如有如下数组（a[1]=1，..a[9]=9）：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

假设我们将 a[1]~a[4] 这段增加5，对于我们要求的区间和来说，要么是 [1,2] 这种属于所改段的子区间，要么是 [1,8] 这种属于所改段的父区间（前面说了，所有的区间求值都可以用sum[m]-sum[n-1]来解，所以我们只考虑前缀和），我们分别讨论。

如果所求是类似 [1,8] 这种，我们可以很开心地发现，我们将区间增量(4*5)全部加在 a[4] 这个元素上，对结果并没有什么影响！于是变成了一般的改点求段。

如果所求是类似 [1,2] 这种，我们可以用类似改段求点中染色的思想进行处理。譬如 [1,4] 成段加5，如果我们要计算 [1,2] 的和。我们将 [1,3] 进行“染色”（节点4加上了4*5的权重），因为 [1,3] 在树状数组的划分中可以分为两个区间，[1,2] 和 [3,3]，所以我们用类似改段求点对这两块区域进行“染色”，染上的次数为5。我们要求的是 [1,2] 的区间和，我们只需找 2 被染色的次数，因为 [1,n] 进行染色。如果m(1<=m<=n)被染色，那么m的右边肯定都被染色了。求出被染色的次数，然后乘上区间宽度，就是整段的和了。

这样我们分别对两种情况进行了处理，更重要的是，这两种情况互不影响！ 于是我们简单地把两个结果相加就ok了，而这两个过程，分别正是改点求段和改段求点！

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 100005
#define ll __int64
ll b[N], c[N];
int n;

int lowbit(int x) {
  return x & (-x);
} 

void update_backwards(int index, ll val) {
  for (int i = index; i <= n; i += lowbit(i))
    b[i] += val;
}

void update_forward(int index, ll val) {
  for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
    c[i] += val;
}

void update(int index, ll val) {
  update_backwards(index, index * val);
  update_forward(index - 1, val);
}

ll query_forward(int index) {
  ll ans = 0;
  for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
    ans += b[i];
  return ans;
}

ll query_backwards(int index) {
  ll ans = 0;
  for (int i = index; i <= n; i += lowbit(i))
    ans += c[i];
  return ans;
}

ll query(int index) {
  return query_forward(index) + query_backwards(index) * index;
}

//---------------- main -------------- //
int main() {
  int t, x, y;
  ll z;
  char str[2];
  memset(b, 0, sizeof(b));
  memset(c, 0, sizeof(c));
  scanf("%d%d", &n, &t);
  n += 1;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    scanf("%I64d", &z);
    x = i + 1, y = i + 1;
    update(y, z);
    update(x - 1, -z);
  }
  
  while (t--) {
    scanf("%s", str);
    if (str[0] == 'C') {
      scanf("%d%d%I64d", &x, &y, &z);
      x += 1, y += 1;
      update(y, z);
      update(x - 1, -z);
    } else {
      scanf("%d%d", &x, &y);
      x += 1, y += 1;
      printf("%I64d
", query(y) - query(x - 1));
    }
  }
  return 0;
}

这里有一点需要注意：一般的用数组数组来解的题，都是不用a[0]的，也就是元素是从a[1]~a[n]，因为 sum[n~m]=sum[m]-sum[n-1]，避免 n-1 为负数。**而本题中的改段求段中的元素是从 a[2]~a[n+1] **，因为 update()函数中的子函数 update_forward() 函数中 index-1 不能为负，所以参数 index 最小是1，所以 sum[n-1] 中 n-1最小是1，所以n最小是2，所以元素下标必须从 2 开始。