嵌套矩形问题

描述

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入

第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，
每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)
随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽

输出

每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行

样例输入

1
10
1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2

样例输出

5

题目链接

分析

若将每个矩形看作一个点,则整体是一幅DAG(有向无环)图,如果矩形i可以嵌套在矩形j里,则有一条i->j的连线,用g[i][j]=1表示,则问题转化为求DAG上的最长路径,可以用d[i]表示以i为起始点的最长路径,如果由一条i->j的连线,则有

if(g[i][j]==1) //i可以嵌套在j里
    d[j] = max(d[j], d[i]+1);

选出数组d中最大的值就是答案

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// g[i][j]=1表示矩形i可以放到j里
int n, g[1010][1010], d[1010];

struct Rec
{
    int len, width;

}rec[1024];

//记忆化搜索
//如果g[i][j]=1, 表示有一条i, j的路径,
//d[j] = max(d[j], d[i+1])
int dp(int x){
    if(d[x]) return d[x];
    int ans = 1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(g[i][x])
            ans = max(ans, dp(i)+1);
    }
    d[x] = ans;
    return ans;
}


int main(int argc, char const *argv[])
{
    // freopen("0", "r", stdin);

    int N, a, b, i, j, t;
    cin >> N;
    while(N--){
        cin >> n;
        for(i = 0; i<n; i++){
            cin >> rec[i].len >> rec[i].width;
        }
        memset(g, 0, sizeof(g));
        memset(d, 0, sizeof(d));

        for(i=0;i<n;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                if(((rec[i].len < rec[j].len) && (rec[i].width < rec[j].width)) ||
                   ((rec[i].len < rec[j].width) && (rec[i].width < rec[j].len))){
                    g[i][j] = 1;
                }
            }
        }

        int ans = 1;
        for(i = 0; i<n; i++)
            ans = max(ans, dp(i));

        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

扩展

增加打印矩阵序列功能,如果有多组解则使矩形编号的字典序最小.

在上例中10个矩形分别是

1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2

则矩阵嵌套的顺序应该是

7 3 2 1 0

增加打印代码

void print_result(int i){
    cout << i << ' ';
    for(int j=0;j<n;j++){ //j是从小大到遍历的,因此可以保证字典序最小
        if(g[j][i] == 1 && d[j] == d[i]-1){
            print_result(j);
            break;
        }
    }
}