笔试算法题（34）：从数字序列中寻找仅出现一次的数字 & 最大公约数（GCD）问题

出题：给定一个数字序列，其中每个数字最多出现两次，只有一个数字仅出现了一次，如何快速找出其中仅出现了一次的数字；

分析：

• 由于知道一个数字异或操作它本身(X^X=0)都为0，而任何数字异或操作0都为它本身，所以当所有的数字序列都异或操作之后，所有出现两次的数字异或操作之后的结果都为0，则最后剩下的结果就是那个仅出现了一次的数字；
• 如果有多个数字都仅仅出现了一次，则上述的异或操作方法不再适用；如果确定只有两个数字只出现了一次，则可以利用X+Y=a和XY=b求解；

解题：

int findSingleInt(int *array, int length) {
        int result=0;
        for(int i=0;i<length;i++)
                result^=array[i];
        return result;
}

int main() {
        int array[]={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6};
        printf("%d
",findSingleInt(array,11));
        return 0;
}

出题：求两个正整数的最大公约数，如果正整数较大，该如何处理；

分析：

• 辗转相除法：gcd(x,y)=gcd(y,x%y)，直到较小一个数(y%x)为0，此时的y就为最大公约数。对于大整数而言，取模运算（%）开销较大 （用到除法），所以不适合计算较大整数间的GCD，注意到既然y与x%y的gcd等于x和y的gcd，那么x-y与y的gcd同样等于x和y的 gcd，gcd(x,y)=gcd(x,x-y)这样就可以避免除法操作，但经历更多的循环，同样需要保证x>y；
• 另外还有一个终极解法：使用移位操作和减法操作替代除法。
  首先，如果y=k*y1, x=k*x1，则有gcd(y, x)=k*gcd(y1, x1)
  然后，如果x=p*x1, y%p!=0，p是素数，则有gcd(x, y)=gcd(x1, y)
  所以当p=2的时候
  如果x和y都是偶数，gcd(x, y)=2*gcd(x>>1, y>>1)
  如果x为偶数，y为奇数，gcd(x,y)=gcd(x>>1, y)
  如果x为奇数，y为偶数，gcd(x, y)=gcd(x, y>>1)
  如果x和y都是奇数，gcd(x, y)=gcd(x, x-y)，x-y必然会是偶数

解题：

int gcd1(int x, int y) {
        return (y==0) ? x:gcd1(y,x%y);
}

int gcd2(int x, int y) {
        if(x<y)
                return gcd2(y,x);
        if(y==0)
                return x;
        else
                return gcd2(x-y,y);
}

int gcd3(int x, int y) {
        if(x<y)
                return gcd3(y,x);
        if(y==0)
                return x;
        else {
                if(x%2==0) {
                        if(y%2==0)
                                return (gcd3(x >> 1, y >> 1) << 1);
                        else
                                return gcd3(x >> 1,y);
                } else {
                        if(y%2==0)
                                return gcd3(x,y >> 1);
                        else
                                return gcd3(y,x-y);
                }
        }
}