引子
最小斯坦纳树
大概意思就是一个图给出 (k(k le 10)) 个关键点,要求选出若干条边使得这 (k) 个关键点连通,求边权和的最小值
(Analysis)
发现 (k) 很小,考虑状压 (dp)
为得到最优解,我们需要考虑以每个点为根的形态
设 (f_{i,S}) 表示以 (i) 为根关键点的状态为 (S) 时的最优解
那么两个转移
一、 (f_{i,S} = min(f_{i,S},f_{i,S0}+f_{i,S1}))
表示用 (i) 这个根将两个不相交的状态直接合并在一起
二、 (f_{i,S} = min(f_{i,S},f_{k,S}+e(k,i)))
表示用之前的一个以 (k) 为根的状态连一条边到 (i) 变为以 (i) 为根
我们发现第二种转移无法确定最佳的 (i,k) 的顺序,即 (dp) 用后效性
这是考虑用最短路算法转移即可
(Code)
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 105, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k, g[N][N], key[N], h[N], f[N][1045], vis[N];
struct edge{
int to, nxt, w;
}e[N * 10];
inline void add(int u, int v, int w)
{
static int tot = 0;
e[++tot] = edge{v, h[u], w}, h[u] = tot;
}
queue<int> Q;
inline void spfa(int s)
{
while (!Q.empty())
{
int now = Q.front(); Q.pop();
for(int i = h[now]; i; i = e[i].nxt)
if (f[e[i].to][s] > f[now][s] + e[i].w)
{
f[e[i].to][s] = f[now][s] + e[i].w;
if (!vis[e[i].to]) vis[e[i].to] = 1, Q.push(e[i].to);
}
vis[now] = 0;
}
}
inline void Stenir_Tree()
{
for(int s = 1; s < (1 << k); s++)
{
memset(vis, 0, sizeof vis);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int t = (s - 1) & s; t; t = (t - 1) & s)
f[i][s] = min(f[i][s], f[i][t] + f[i][s ^ t]);
if (f[i][s] != INF) vis[i] = 1, Q.push(i);
}
spfa(s);
}
}
int main()
{
memset(g, INF, sizeof g), memset(f, INF, sizeof f);
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for(int i = 1, x, y, z; i <= m; i++)
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z), g[x][y] = g[y][x] = min(g[x][y], z);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = i + 1; j <= n; j++)
if (g[i][j] != INF) add(i, j, g[i][j]), add(j, i, g[i][j]);
for(int i = 0; i < k; i++) scanf("%d", &key[i]), f[key[i]][1 << i] = 0;
Stenir_Tree();
int ans = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, f[i][(1 << k) - 1]);
printf("%d
", ans);
}