(翻译，图片也来自原文)
一、概述
绝大部分计算机的显示器是二维的(a 2D surface)。在OpenGL中一个3D场景需要被投影到屏幕上成为一个2D图像(image)。这称为投影变换(参见这或这)，需要用到投影矩阵(projection matrix)。
首先，投影矩阵会把所有顶点坐标从eye coordinates(观察空间，eye space或view space)变换到裁剪坐标(clip coordinated，属于裁剪空间，clip space)。然后，这些裁剪坐标被变换到标准化设备坐标(normalized device coordinates, NDC，即坐标范围在-1到1之间)，这一步是通过用用裁剪坐标的(w_c)分量除裁剪坐标实现的。
因此，我们要记住投影矩阵干了两件事: 裁剪clipping(即frustum culling，视景体剔除)和生成NDC。下文会讲述如何根据6个参数(left, right, bottom, top, near和far边界值)来构建投影矩阵。
注意视景体剔出(也即clipping)是在裁剪坐标下完成的，是早于用(w_c)(即上面提到的(w)分量,c表示clipping)除裁剪坐标的(它会生成NDC)。裁剪坐标(x_c, y_c, z_c)会与(w_c)进行比较。如果裁剪坐标比(-w_c)小或者比(w_c)大，则丢弃这个顶点(vertex)。即经裁剪后剩余的顶点的裁剪坐标满足:(-w_c < x_c, y_c, z_c < w_c)。OpenGL会成发生裁剪的地方生成新的边，如下图1，一个三角形经裁后，成了一个梯形，两条红色的边就是裁剪后新生成的。
(图1. 一个被视体裁剪的三角形)
一般常用的有透视投影和正交投影，相应地也就有两种投影矩阵。
二、透视投影(Perspective Projection)
(图2. 透视投影中的视景体和标准化设备坐标NDC)
在透视投影中，一个3D point是在一个截头锥体中(truncated pyramid frustum,上面图2左图，即一个棱台)，会被映射到一个立方体(NDC坐标空间)中，x坐标范围从[1, r]变成了[-1, 1]，y坐标范围从[b, t]变成了[-1, 1]，z坐标从[-n, -f]变成了[-1, 1]。
注意在view space中(即eye coordinate)，OpenGL使用的是右手坐标系(上面图2左图)，但是在NDC中使用的是左手坐标系(上面图2右图)。这样的话，在view space中camera位于坐标原点看向-z轴，而在NDC中camera是看向+z轴的。上面图2中的n表示近裁剪面(near plane)，是正值。因为glFrustum()接受的near、far的值是正的，所以在在构造投影矩阵时，要为它们取负(negate them)。
在OpenGL中，view space(又称为eye space)中的一个3D point被投影到近裁剪面(此处用近裁剪面作投影平面，projection plane)上。下图3和图4显示了eye space中的一个点((x_e, y_e, z_e))是怎样被投影成近裁剪面上的一个点((x_p, y_p, z_p))。
(图3. 视景体的俯视图)
(图4.视景体的侧视图)
从视景体的俯视图(图3)看，x轴坐标(x_e)被映射成为(x_p)，而(x_p)可以根据三角形相似形计算出来:
[frac{x_p}{x_e}=frac{-n}{z_e} Longrightarrow x_p = frac{-ncdot x_e}{z_e}=frac{ncdot x_e}{-z_e}
]
从视景体的侧视图(图4)看，可以用相似的方法计算出(y_p):
[frac{y_p}{y_e}=frac{-n}{z_e} Longrightarrow y_p = frac{-ncdot y_e}{z_e}=frac{ncdot y_e}{-z_e}
]
注意(x_p)和(y_p)都依赖(z_e)并与(-z_e)成反比。这是构建投影矩阵的第一个线索。在eye coordinates被投影矩阵乘后，得到的裁剪坐标仍然是齐次坐标(homogeneous coordinates)。最终它需要除以裁剪坐标的w分量，才能变成标准化设备坐标(NDC)。
[left(
egin{matrix}
x_{clip}\
y_{clip}\
z_{clip}\
w_{clip}
end{matrix}
ight) = M_{projection}cdot left(
egin{matrix}
x_{eye}\
y_{eye}\
z_{eye}\
w_{eye}
end{matrix}
ight),
left(
egin{matrix}
x_{ndc}\
y_{ndc}\
z_{ndc}
end{matrix}
ight)=left(
egin{matrix}
frac{x_{clip}}{w_{clip}}\
frac{y_{clip}}{w_{clip}}\
frac{z_{clip}}{w_{clip}}
end{matrix}
ight)
]
因此，我们可以把裁剪坐标的w分量设置为(-z_e)，则投影矩阵第4行变为(0, 0, -1, 0)。
[left(
egin{matrix}
x_c\
y_c\
z_c\
w_c
end{matrix}
ight)=left(
egin{matrix}
cdot & cdot &cdot &cdot\
cdot & cdot &cdot &cdot\
cdot & cdot &cdot &cdot\
0 & 0 & -1 & 0
end{matrix}
ight) left(
egin{matrix}
x_e\
y_e\
z_e\
w_e
end{matrix}
ight),
herefore w_c=-z_e
]
接下来，我们把刚计算得到的(x_p, y_p)线性地(with linear relationship)映射到NDC中的(x_n, y_n)(这里的n表示NDC)：([l, r] Rightarrow [-1, 1])，([b, t] Rightarrow [-1, 1])。
(图5. 把(x_p)映射到(x_n))
因为(x_p)和(x_n)之间是线性映射关系，如图5，所以可设两者之间的映射函数为:
[x_n = frac{1-(-1)}{r-l}cdot + eta
]
把((x_p, x_n) = (r, l))代入上面方程得:
[1 = frac{2r}{r-l}+eta
]
所以
[egin{equation}
egin{aligned}
eta&=1 - frac{2r}{r-l}=frac{r-l}{r-l} - frac{2r}{r-l}\
&=frac{r-l-2r}{r-l}=frac{-r-l}{r-l}=-frac{r+l}{r-l}
end{aligned}
end{equation}
\
herefore x_n=frac{2x_p}{r-l}-frac{r+l}{r-l}
]
同理，可以求出(y_p)和(y_n)之间的关系表达式，如图6及以下公式：
(图6.把(y_p)映射到(y_n))
[y_n = frac{1-(-1)}{t-b}cdot y_p + eta
]
用$ (y_p, y_n)=(t,1)$代入上式得
[1 = frac{2t}{t-b}+eta\
egin{equation}
egin{aligned}
eta &= 1 - frac{2t}{t-b} = frac{t-b}{t-b} - frac{2t}{t-b}\
&=frac{t-b-2t}{t-b}=frac{-t-b}{t-b}=-frac{t+b}{t-b}
end{aligned}
end{equation}
\
herefore y_n=frac{2y_p}{t-b}-frac{t+b}{t-b}
]
接下来，把上上面求得的(x_p=frac{nx_e}{-z_e})和(y_p=frac{ny_e}{-z_e})代入刚刚求到的线性关系式得:
[egin{equation}
egin{aligned}
x_n &= frac{2x_p}{r-l}-frac{r+l}{r-l}\
&= frac{2cdot frac{ncdot x_e}{-z_e}}{r-l}-frac{r+l}{r-l}\
&= frac{2ncdot x_e}{(r-l)(-z_e)} - frac{r+l}{r-l}\
&= frac{frac{2n}{r-l}cdot x_e}{-z_e} - frac{r+l}{r-l}\
&= frac{frac{2n}{r-l}cdot x_e}{-z_e} + frac{frac{r+l}{r-l}cdot z_e}{-z_e}\
&= left. left(underbrace{frac{2n}{r-l}cdot x_e + frac{r+l}{r-l}cdot z_e}_{x_c}
ight) middle/ (-z_e)
ight.
end{aligned}
end{equation}
]
[egin{equation}
egin{aligned}
y_n &= frac{2y_p}{t-b} - frac{t+b}{t-b}\
&= frac{2cdot frac{ncdot y_e}{-z_e}}{t-b} - frac{t+b}{t-b}\
&= frac{2ncdot y_e}{(t-b)(-z_e)} - frac{t+b}{t-b}\
&= frac{frac{2n}{t-b}cdot y_e}{-z_e} - frac{t+b}{t-b}\
&= frac{frac{2n}{t-b}cdot y_e}{-z_e} + frac{frac{t+b}{t-b}cdot z_e}{-z_e}\
&= left. left(underbrace{frac{2n}{t-b}cdot y_e + frac{t+b}{t-b}cdot z_e}_{y_c}
ight) middle/ (-z_e)
ight.
end{aligned}
end{equation}
]
注意上面刚刚求得的(x_n, y_n)是NDC坐标，而NDC应该是由裁剪坐标除以(w_c)得到，也即透视除法(perspective division), ((x_c/w_c, y_c/w_c))。又因为，之前我们把(w_c)的值设置为(-z_e)，所以上面(x_n, y_n)表达式中括号里的部分表示裁剪空间的坐标(x_c, y_c)。
加上上面的两个方程，我们可以找到投影矩阵的第1行和第2行:
[egin{equation}
left(
egin{matrix}
x_c\
y_c\
z_c\
w_c
end{matrix}
ight)
=left(
egin{matrix}
frac{2n}{r-l} & 0 & frac{r+l}{r-l} & 0\
0 & frac{2n}{t-b} & frac{t+b}{t-b} & 0\
cdot & cdot & cdot & cdot\
0 & 0 & -1 & 0
end{matrix}
ight)
left(
egin{matrix}
x_e\
y_e\
z_e\
w_e
end{matrix}
ight)
end{equation}
]
现在矩阵只剩下第三行是待求解的。在eye space中(z_e)总是被投影到近裁剪面(near plane)上，即值总是为-n。但是我们为了完成裁剪(clipping)和深度测试(depth test)，每一个顶点应该具有不同的z值。此外，投影变换应该是可逆的。既然我们知道z不依赖于x和y的值，那么我们就借用w分量来找到(z_n)和(z_e)之间的关系。因此，我们可以指定第三行长这样:
[egin{equation}
left(
egin{matrix}
x_c\
y_c\
z_c\
w_c
end{matrix}
ight)
=left(
egin{matrix}
frac{2n}{r-l} & 0 & frac{r+l}{r-l} & 0\
0 & frac{2n}{t-b} & frac{t+b}{t-b} & 0\
0 & 0 & A & B\
0 & 0 & -1 & 0
end{matrix}
ight)
left(
egin{matrix}
x_e\
y_e\
z_e\
w_e
end{matrix}
ight)
end{equation},
z_n=z_c/w_c=frac{Az_e + Bw_e}{-z_e}
]
因为在eye space中，(w_e)总是等于1，因此：
[z_n = frac{Az_e + B}{-z_e}
]
(注意，(w_c = -z_e, w_e=1)别搞混淆了)
为了找到系数A和B，我们把((z_e, z_n))之间的关系: (-n, -1)和(-f, 1)，代入上面这个等式中，得到:
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
frac{-An+B}{n} = -1 & \
frac{-Af+B}{f} = 1 &
end{array}
ight.
end{equation}
\
Downarrow
]
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
-An + B = -n & (1)\
-Af + B = f & (2)
end{array}
ight.
end{equation}
]
由方程(1)可得:
[egin{equation}
egin{array}{lr}
B=An-n & (1')
end{array}
end{equation}
]
把方程(1')代入到方程(2)，可解出A:
[egin{equation}
egin{array}{lr}
-Af + (An-n) = f & (2')\
-(f-n)A=f+n &\
A=-frac{f+n}{f-n}&
end{array}
end{equation}
]
把A的值代入方程(1')可求得B:
[egin{equation}
egin{aligned}
B &=-n - left(frac{f+n}{f-n}
ight)n=-left(1+frac{f+n}{f-n}
ight)n\
&= -frac{2fn}{f-n}
end{aligned}
end{equation}
]
有了A和B，则(z_e)和(z_n)之间的关系表达式为:
[egin{equation}
egin{aligned}
z_n = frac{-frac{f+n}{f-n}z_e - frac{2fn}{f-n}}{-z_e} &quad (3)
end{aligned}
end{equation}
]
最后，完整的投影矩阵为:
[left(
egin{matrix}
frac{2n}{r-l} & 0 & frac{r+l}{r-l} & 0\
0 & frac{2n}{t-b} & frac{t+b}{t-b} & 0\
0 & 0 & frac{-(f+n)}{f-n} & frac{-2fn}{f-n}\
0 & 0 & -1 & 0
end{matrix}
ight)
]
上面这是一个通用视景体的投影矩阵。当视景体是对称时，即r=-l, t=-b，则:
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
r+l=0\
r-l=2r
end{array}
ight.
end{equation}
]
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
t+b=0\
t-b=2t
end{array}
ight.
end{equation}
]
故投影矩阵可以简化为:
[left(
egin{matrix}
frac{n}{r} & 0 & 0 & 0\
0 & frac{n}{t} & 0 & 0\
0 & 0 & frac{-(f+n)}{f-n} & frac{-2fn}{f-n}\
0 & 0 & -1 & 0
end{matrix}
ight)
]
透视投影矩阵我们已经求出来了，在继续往下探讨之前，请再看一下上面的方程(3)，即:
[egin{equation}
egin{aligned}
z_n = frac{-frac{f+n}{f-n}z_e - frac{2fn}{f-n}}{-z_e} &quad (3)
end{aligned}
end{equation}
]
可以看到它是一个有理函数(rational function)，且是一个非线性函数。这意味着在近裁剪面(near plane)附近，它具有很高的精度(very high precision)，而在远裁剪面(far plane)附近具有非常小的精度(very little precision)。如果[-n, -f]的范围比较大，它会造成深度值精度问题(z-fighting)，即可能在离far plane比较近的地方，当(z_e)的值差异较小时，它们对应的(z_n)值相同，或者说当一个(z_e)值发生小的变化时，对应的(z_n)不受影响(即值不变)。这会产生错误的视觉效果。如下面图7所示，在远裁剪面附近，(z_n)的值几乎不随(z_e)发生变化。
(图7. 深度缓存的精度比较)
一些避免z-fighting的方法:
- 首先也是最重要的技巧是不要把物体放的太近。即使是视觉效果上贴在一块的物体，也可以把它们稍微分开一点，只要肉眼看不到即可。
- 把近裁剪面设置的尽可能远。因为上面说过，离近裁剪面近的地方，精度会高。但这样可能造成离camera很近的物体被裁剪掉。这需要大量实验才能找到适合的距离。
- 尽量缩短n和f之间的距离。这和上一条其实一样。
- 使用更高精度的depth buffer。现在一般depth bufer中depth value使用16, 24或32 bit的flotas。大部分系统使用的是24 bits的floats。因此可以改成使用32 bits的depth buffer。但这样会增加一点性能负担。
三、正交投影
构建正交投影矩阵相对来说会简单一些。
(图8. 正交投影视景体及对应的NDC)
在eye space中，所有(x_e, y_e, z_e)分量是线性映射到NDC中的。我们只需要把一个长方体(rectangular volume)所表达的体积缩放成一个立方体(cube)，并把它移动到原点(如图8)。下面我们将使用线性映射关系(linear relationship)来找到正交投影矩阵的各个元素。
(图9. 把(x_e)映射到(x_n))
[egin{equation}
egin{aligned}
x_n &= frac{1-(-1)}{r-l}cdot x_e + eta\
1&=frac{2r}{r-l} + eta, (substitute (r, 1) for (x_e, x_n))\
eta &= 1 - frac{2r}{r-l}=-frac{r+l}{r-l}\
herefore x_n &= frac{2}{r-l}cdot x_e - frac{r+l}{r-l}
end{aligned}
end{equation}
]
(图10. 把(y_e)映射到(y_n))
[egin{equation}
egin{aligned}
y_n &= frac{1-(-1)}{t-b}cdot y_e + eta\
1 &= frac{2t}{t-b}+eta, (substitute (t, 1) for (y_e, y_n))\
eta &= 1 - frac{2t}{t-b} = -frac{t+b}{t-b}\
herefore y_n &= frac{2}{t-b}cdot y_e - frac{t+b}{t-b}
end{aligned}
end{equation}
]
(图11. 把(z_e)映射到(z_n))
[egin{equation}
egin{aligned}
z_n &= frac{1-(-1)}{-f-(-n)}cdot z_e + eta\
1 &=frac{2f}{f-n} + eta, (substitute (-f, 1) for (z_e, z_n))\
eta &= 1 - frac{2f}{f-n}=-frac{f+n}{f-n}\
herefore z_n &= frac{-2}{f-n}cdot z_e - frac{f+n}{f-n}
end{aligned}
end{equation}
]
因为对于正交投影w分量不是必须的，所以正交投影矩阵的第4行为(0, 0, 0, 1)。因此完整的正交投影矩阵为:
[left(
egin{matrix}
frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -frac{r+l}{r-l}\
0 & frac{2}{t-b} & 0 & -frac{t+b}{t-b}\
0 & 0 & frac{-2}{f-n} & -frac{f+n}{f-n}\
0 & 0 & 0 & 1
end{matrix}
ight)
]
如果视景体对称的话，即r=-l, t=-b, 则:
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
r+l=0 \
r-l=2r
end{array}
ight.
end{equation}
]
[egin{equation}
left{
egin{array}{lr}
t+b=0 \
t-b=2r
end{array}
ight.
end{equation}
]
故正交投影矩阵被简化为:
[left(
egin{matrix}
frac{1}{r} & 0 & 0 & 0\
0 & frac{1}{t} & 0 & 0\
0 & 0 & frac{-2}{f-n} & -frac{f+n}{f-n}\
0 & 0 & 0 & 1
end{matrix}
ight)
]
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