约瑟夫环

场景：

一群猴子排成一圈，按1,2,…,n依次编号。然后从第1只开始数，数到第m只,把它踢出圈，从它后面再开始数， 再数到第m只，在把它踢出去…，如此不停的进行下去， 直到最后只剩下一只猴子为止，那只猴子就叫做大王。要求编程模拟此过程，输入m、n, 输出最后那个大王的编号。

方法1.通过从队首弹出再插入队尾的方法。注意虽然这种方法使猴子的编号看似发生变化了，但其实到最后编号还是正确的，就是不用担心编号变化的问题。可以自己画一画就知道了。

function king($n,$m) {
    $monkey = range(1,$n);//模拟建立一个连续数组
    $i = 0;
    while(count($monkey) > 1) {
        $i ++ ; // 开始查数
        $head = array_shift($monkey); //直接一个一个出列最前面的猴子
        if($i % $m != 0) {
            array_push($monkey,$head); // 如果没数到m或m的倍数,则把该猴放回尾部去.
        } //否则就抛弃掉了
    }
    return $monkey[0];
}

//echo '剩余',king(3,4),'号猴子';  #2

echo '剩余',king(6,9),'号猴子';  #

方法2.通过分析得出一个公式。

每个猴子出列后，剩下的猴子又组成了另一个子问题。只是他们的编号变化了。第一个出列的猴子肯定是a[1]=m(mod)n(m/n的余数)，他除去后剩 下的猴子是a[1]+1,a[1]+2,…,n,1,2,…a[1]-2,a[1]-1，对应的新编号是1,2,3…n-1。设此时某个猴子的新编号是 i，他原来的编号就是(i+a[1])%n。于是，这便形成了一个递归问题。假如知道了这个子问题(n-1个猴子)的解是x，那么原问题(n个猴子)的解 便是：(x+m%n)%n=(x+m)%n。问题的起始条件：如果n=1,那么结果就是1。

    function king($n,$m) {  
        $r=0;  
        for($i=2; $i<=$n; $i++) {
            $r=($r+$m)%$i;  
        }
        return $r+1;  
    }  
    echo king(10,3)."是猴王";