喵哈哈村的魔法考试 Round #7 (Div.2) E

喵哈哈村的小美

发布时间: 2017年3月13日 12:40   时间限制: 1000ms   内存限制: 128M

描述

为了拯救喵哈哈村，这个世界必须要存在英雄。

一名叫做小美的英雄站了出来！他现在面临一个难题：

小美在玩一个游戏，她需要把1, 2, 3, ... NM填入一个N行M列的矩阵中，使得矩阵每一行从左到右、每一列从上到下都是递增的。  

例如如下是3x3的一种填法：

136  
247  
589

给定N和M，她希望知道一共有多少种不同的填法。

输入

本题包含若干组测试数据。
一行包含两个整数N和M。
满足：1 <= N <= 3, 1 <= M <= 100000

输出

输出一共有多少种不同的填法。由于结果可能很大，你只需输出答案模10^9+7的余数。

样例输入1 复制

3 2

样例输出1

5

不会做...
然后看题解...
好像get新的知识点了...
原来看扩展欧几里得的时候，了解过逆元，也写过一次，但是感觉没什么用...就忘记了
现在看来还是要多做题去领悟每一个知识点的妙处...
扩展欧几里得的一个用处就是用来求逆元---逆元（a/b%m 等价于 a*c%m c就是b的逆元）
求逆元的过程如下

int ext_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
    }else{
        ext_gcd(b, a%b, x, y);
        int tem=x;
        x=y;
        y=tem-(a/b)*y;
    }
    return a;
}
int mod_inverse(int a, int m){
    int x, y;
    ext_gcd(a, m, x, y);
    return (m+x%m)%m;
}

这样除法取模就转换成了乘法取模！

然后这题又涉及到数学问题，杨氏矩阵  牵扯到一个屌屌的公式---钩子公式！

这个大佬的链接有详细的介绍 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/14549077

就是一个特殊的很强的矩阵 

这个题目里面好像又有一个很强的公式 两行和三行的时候分开讨论一下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e6+6;
const int mod=1e9+7;

int ext_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
    }else{
        ext_gcd(b, a%b, x, y);
        int tem=x;
        x=y;
        y=tem-(a/b)*y;
    }
    return a;
}
int mod_inverse(int a, int m){
    int x, y;
    ext_gcd(a, m, x, y);
    return (m+x%m)%m;
}
inline int mul(int a, int b){return int(1ll*a*b%mod);};
inline int add(int a, int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;};
inline int sub(int a, int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int _div(int a, int b){return mul(a, mod_inverse(b, mod));}
long long p[maxn];
long long solve1(int x){
    return _div(p[2*x], mul(p[x], p[x+1])); //这个公式很强
}
long long solve2(int x){
    return _div(mul(2, p[3*x]), mul(p[x], mul(p[x+1], p[x+2])));　　这个公式也很强
}
int main(){
    p[0]=1;
    for(int i=1; i<maxn; i++)
        p[i]=p[i-1]*i%mod;
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        if(n==1)    cout<<"1"<<endl;
        else if(n==2)    cout<<solve1(m)<<endl;
        else cout<<solve2(m)<<endl;
    }
    return 0;
}