树上数据结构——LCT
概述
LCT是一种强力的树上数据结构，支持以下操作：
- 链上求和
- 链上求最值
- 链上修改
- 子树修改
- 子树求和
- 换根
- 断开树上一条边
- 连接两个点，保证连接后仍然是一棵树。
基本概念
LCT是对树的实链剖分，即把所有边划分为实边和虚边
类似于重链剖分，每个点连向子节点中的实链至多只会有一条，把这条实边连向的儿子叫做实儿子
把一些实边连接的点构成的链叫做实链，容易发现实链之间没有共同点
需要注意的是一个不在实边上的点（一些叶节点）也视为一条没有实边的实链
于是实链之间一定是用虚边链接的
要涉及动态删连边操作，于是使用splay来维护一条实链，splay是LCT的辅助树
此处splay的深度按中序遍历严格递增
由于用splay维护，LCT的实边是动态的，可以改变
核心操作
access(x)：让x到根节点的所有边均为实边，并且x没有实儿子
这个推荐flash_hu的博客，简单易懂
稍微说一下，每次操作先把当前要连的点splay到当前splay的根，由于splay中深度按中序遍历递增，此时根的右儿子一定是之前连的实链，需要去掉
于是把之前的点连到当前根的右儿子就行了
注意此时一些(fa,son,isroot)之类的信息改变了，需要(push)_(up)
void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]){ //y是之前的根，x是当前需要连的点
splay(x); ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}
其他操作
-
makeroot
换根操作
access(x)之后x是深度最大的点
所以splay(x)之后，x在splay中一定没有右子树，这个时候翻转整个splay，所有点的深度就都倒过来了，x成为深度最小的点，即为根节点
void pushr(int x){ swap(ch[x][0],ch[x][1]); r[x]^=1; } void makeroot(int x){ access(x); splay(x); pushr(x); } -
findroot
找所在树的树根，可以用来判断两点之间的连通性（两点所在树相同则有唯一相同根
int findroot(int x){ access(x);splay(x); while(c[x][0]) push_down(x),x=ch[x][0];//寻找深度最小的点，此处push_down是为了x到跟的标记放完，好判连通性 splay(x);//多多splay有益健康 return 0; } -
split
把一条路径拉成一个splay
void spilt(int x,int y){ makeroot(x);access(y); splay(y); } -
link
连一条边，保证连完还是一棵树
不保证合法：
int link(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)==x) return 0; fa[x]=y; //把x作为y的儿子 return 1; }保证合法：
void link(int x,int y){ makeroot(x); fa[x]=y; }此处连的边是虚边（感受到实链剖分的方便了罢
-
cut
断边
保证存在：
void cut(int x,int y){ split(x,y); fa[x]=ch[y][0]=0; push_up(y); }不存在此边的时候是什么情况呢？
先把x给(makeroot)到根
-
x和y不连通 （(findroot)）
-
在同一splay中而没有直接连边 （(f[y]==x)且(!c[y][0]))
(考虑其他的点在哪里，在findroot之后x到了根节点，如果x和y之间有点，只能是在y到根的路径上或者y的左儿子上)
int cut(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ch[y][0]) return 0; fa[y]=ch[x][1]=0; push_up(x); return 1; } -
-
nroot
naiive的操作，判断此点是否不是当前splay的根节点
int nroot(int x){ return (ch[fa[x]][1]==x||ch[fa[x]][0]==x); } -
splay 的特殊性
此处splay的标记一定要从上往下放，也就是先开个栈把标记放完再旋转
完整模板
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define reg register int
#define il inline
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]
int read(){
int x=0,pos=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') pos=0;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return pos?x:-x;
}
const int N = 400025;
int fa[N],ch[N][2],v[N],s[N],st[N],r[N];
il int nroot(int x){
return ch[fa[x]][1]==x||ch[fa[x]][0]==x;
}
il int get(int x){
return ch[fa[x]][1]==x;
}
il void push_up(int x){
s[x]=v[x]^s[ls]^s[rs];
}
il void pushr(int x){
swap(ls,rs);r[x]^=1;
}
il void push_down(int x){
if(r[x]){
if(ls) pushr(ls);
if(rs) pushr(rs);
r[x]=0;
}
}
il void rotate(int x){
int f=fa[x],g=fa[f],kx=get(x),kf=get(f);
if(nroot(f)) ch[g][kf]=x;
fa[x]=g;
/*if(ch[x][kx^1])*/ fa[ch[x][kx^1]]=f;
ch[f][kx]=ch[x][kx^1];
fa[f]=x;ch[x][kx^1]=f;
push_up(f);push_up(x);
}
il void push(int x){
if(nroot(x)) push(fa[x]);
push_down(x);
}
il void splay(int x){
int f,g;
push(x);//fuctional stack
while(nroot(x)){
f=fa[x],g=fa[f];
if(nroot(f)){
rotate(get(x)==get(f)?f:x);
}
rotate(x);
}
}
il void access(int x){
for(reg y=0;x;y=x,x=fa[x]){
splay(x);rs=y;push_up(x);
}
}
il void makeroot(int x){
access(x);splay(x);pushr(x);
}
il void spilt(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);splay(y);
}
il int findroot(int x){
access(x);splay(x);
while(ls) x=ls;
splay(x);
return x;
}
il void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}
il void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x&&fa[y]==x&&!ch[y][0]){
fa[y]=ch[x][1]=0;
push_up(x);
}
}
int n,m;
int main(){
n=read();m=read();
for(reg i=1;i<=n;i++){
v[i]=read();
}
for(reg i=1;i<=m;++i){
int opt=read(),x=read(),y=read();
if(opt==0){
spilt(x,y);printf("%d
",s[y]);
}else if(opt==1){
link(x,y);
}else if(opt==2) cut(x,y);
else splay(x),v[x]=y;
}
return 0;
}
之后可能会补自己做的LCT题（咕
在创作本文的过程中，参考了以下文章：
- [flash_hu大佬的博客][https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8324551.html]
- [NOI级别的超强数据结构——Link-cut-tree（动态树）学习小记][https://blog.csdn.net/qq_36551189/article/details/79152612]
- 成都七中的LCT课件（有一点吧
- Yang Zhe 2007年的论文