关于LCA：
LCA 指树上两点的公共祖先。
如何 “暴力” 找两点的 LCA ：
可以先 DFS 一遍求出每个点的 dep （深度）。然后从深度大的点先往上跳，跳到与另一个点相同的深度，如果还没有到达相同的，就两个点一起往上跳，直到达到相同的点，那么，这个点就是两点的 LCA 。
关于倍增法求 LCA ：
其实就是一个经过优化的暴力算法。让两个点一次向上跳多步来优化时间。
如何实现倍增求 LCA ：
设 f [ u ][ k ] 表示 u 的 2k 辈祖先，即从 u 向根节点走 2k 步到达的节点。特别地，若该节点不存在，则令 f [ u ][ k ] = 0 。f [ u ][ 0 ] 就是 x 的父节点。因为 u 向根节点走 2k ⇔ 向根节点走 2k-1 步，再走 2k-1 步。所以对于 k∈ [ 1，logn ] ，有 f [ u ][ k ] = f [ f [ u ][ k-1 ] ][ k-1 ]。
f 数组利用了递推的思想。递推式为： f [ u ][ k ] = f [ f [ u ][ k-1 ] ][ k-1 ]。因此，我们可以对树进行遍历 DFS ，由此得到 f [ u ][ 0 ]，再计算出 f 数组的所有值。（预处理的期望复杂度为 O(nlogn)）。
在预处理完之后可以多次对不同的 x,y 计算 LCA ，每次询问的时间复杂度为 O(logn)。
基于 f 数组（假装已经预处理）计算 LCA( x, y ) 分为以下几步：
①设 dep [ x ] 表示 x 的深度。那么设 dep [ x ] ≥ dep [ y ] 。（否则，可交换 x, y ）
②利用二进制拆分的思想，把 x 向上调整到与 y 同一的深度。
即：依次尝试从 x 向上走 k = 2logn… 21,20 步，若到达的点比 y 深，则令 x = f [ x ][ k ]。
③若此时的 x = y ，则说明已经找到了 LCA ，两点的 LCA 就等于 y 。
④若此时的 x ≠ y ，那么 x, y 同时向上调整，并保持深度一致且二者不会相会。
具体来说就是，依次尝试把 x, y 同时向上走 k = 2logn… 21,20 步，若 f [ x ][ k ] ≠ f [ y ][ k ]（即仍未相会），则令 x = f [ x ][ k ]，y = f [ y ][ k ]。
⑤此时 x，y 必定只差一步就相会了，他们的父节点 f [ x ][ 0 ] 就是 LCA。
倍增求 LCA 的伪代码：
预处理：
inline void Deal_first(int u,int fa) { dep[u]=dep[fa]+1;//深度+1 for(int i=0;i<=19;i++)//2^0 ~ 2^19 f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];//递推公式，上面讲过了。 for(int i=head[u];i;i<=t[i].nex)//前向星遍历（相当于dfs) { int v=t[i].to;//记录子节点 if(v==fa) continue;//防止倒退（因为是无向边） f[v][0]=u;//子节点向上跳一步就是父节点 Deal_first(v,u);//v-子节点，u-父节点 } }
查询 x，y 的 LCA：
inline int LCA(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//让x深度较大 //用“暴力”的思想：先让x,y跳到同一深度，然后一起往上跳 for(int i=20;i>=0;i--)//倒着for，x能多跳尽量多跳 ，才能优化时间 { if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];//先跳到同一层 if(x==y) return y; } for(int i=20;i>=0;i--)//此时x,y已跳到同一层 { if(f[x][i]!=f[y][i])//如果 f[x][i]和f[y][i]不同才跳 { x=f[x][i]; y=f[y][i]; } } return f[x][0];//跳完上述步骤后，两点离LCA仅一步之遥，让x(或y)再向上跳一步就是LCA。 }
倍增求LCA的板子题
题目描述：
如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
输入输出格式：
输入格式：
第一行包含三个正整数 N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 N-1 行每行包含两个正整数 x、y，表示 x 结点和 y 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 M 行每行包含两个正整数 a、b，表示询问 a 结点和 b 结点的最近公共祖先。
输出格式：
输出包含 M 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。
#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<stack> #include<deque> #include<set> #include<map> #include<vector> #include<fstream> using namespace std; #define maxn 501000 int n,m,s; int dep[maxn<<1]; int f[maxn<<1][21]; int head[maxn<<1],cnt=0; struct hh { int nex,to; }t[maxn<<1]; inline void add(int nex,int to) { t[++cnt].nex=head[nex]; t[cnt].to=to; head[nex]=cnt; } inline void Deal_first(int u,int fa) { dep[u]=dep[fa]+1; for(int i=0;i<20;i++) f[u][i+1]=f[f[u][i]][i]; for(int i=head[u];i;i=t[i].nex) { int v=t[i].to; if(v==fa) continue; f[v][0]=u; Deal_first(v,u); } return; } inline int LCA(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--) { if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i]; if(x==y) return x; } for(int i=20;i>=0;i--) { if(f[x][i]!=f[y][i]) { x=f[x][i]; y=f[y][i]; } } return f[x][0]; } inline int read() { int kr=1,xs=0; char ls; ls=getchar(); while(!isdigit(ls)) { if(!(ls^45)) kr=-1; ls=getchar(); } while(isdigit(ls)) { xs=(xs<<1)+(xs<<3)+(ls^48); ls=getchar(); } return xs*kr; } int main() { int x,y; n=read();m=read();s=read();//n个节点，m个询问，以s为根节点 for(int i=1;i<n;i++) { x=read();y=read(); add(x,y); add(y,x);//添加无向边 } Deal_first(s,0);//以点s为根节点预处理 f 数组 for(int i=1;i<=m;i++) { x=read();y=read(); printf("%d ",LCA(x,y)); } return 0; }