Tarjan 强连通分量学习笔记

在一个有向图中，如果某两点间都有互相到达的路径，那么称中两个点强连通，如果任意两点都强连通，那么称这个图为强连通图；一个有向图的极大强连通子图（不被原图其它强连通子图包含）称为强连通分量。

Tarjan 算法可以在 $O(n + m)$ 的时间内求出一个图的所有强连通分量。

若将有向图的强连通分量都视作一个点，则原图会形成有向无环图（DAG）。

定义

栈，DFS 树中同一棵子树中的点在栈中是相邻的。

$mathrm{dfn}(u)$ 表示进入节点 $u$ 时的时间（时间截）。

$mathrm{low}(u)$ 表示由节点 $u$ 开始搜索所能到达的点中，在搜索树上是 $u$ 的祖先且 $mathrm{dfn}$ 最小的节点的 $mathrm{dfn}$。

描述

1. 选定一个节点作为根节点，开始 DFS；

2. 初始化当前点的 $mathrm{dfn}$ 和 $mathrm{low}$ 均为当前时间截，并进栈；

3. 遍历当前点 $v$ 的所有邻接点（ $v$ 出边连的点）；

4. 如果某个邻接点 $u$ 在栈中，更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{dfn}(u))$；

5. 如果某个邻接点 $u$ 不在栈中，则对 $u$ 进行 DFS，完成后更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{low}(u))$；

6. $v$ 所有邻接点都完成 DFS 后，如果满足 $mathrm{low}(v) = mathrm{dfn}(v)$，则将栈中从 $v$ 到栈顶的所有元素出栈，并标记为一个强连通分量。

解释

如果某个邻接点 $u$ 在栈中，更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{dfn}(u))$；

$u$ 已被访问过且还未出栈，说明 $v$ 找到它的祖先 $u$，并形成了一个环，此时要用 $u$ 去更新 $v$ 的最远祖先。

如果某个邻接点 $u$ 不在栈中，则对 $u$ 进行 DFS，完成后更新 $mathrm{low}(v) = min(mathrm{low}(v), mathrm{low}(u))$；

点 $u$ 出发能到达的最远祖先，点 $v$ 一定也能到达。

$v$ 所有邻接点都完成 DFS 后，如果满足 $mathrm{low}(v) = mathrm{dfn}(v)$，则将栈中从 $v$ 到栈顶的所有元素出栈，并标记为一个强连通分量。

如果当前点 $v$ 为根的子树下，无论怎么走也无法到达 $v$ 的祖先，说明整棵子树下的点组成一个强连通分量。因为从 $v$ 进栈后，所有进栈的点都是子树内的点，所以这个点在栈中的位置到栈顶位置中的点为同一个强连通分量。

模板

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int SIZE = 100005;

int scc[SIZE], sccTot;
int st[SIZE], top;
int low[SIZE], dfn[SIZE], time;
int h[SIZE], to[SIZE << 1], nxt[SIZE << 1], tot;

int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}

void add(int x, int y) {
	to[++tot] = y;
	nxt[tot] = h[x];
	h[x] = tot;
}

void tarjan(int x) {
	low[x] = dfn[x] = ++time;
	st[++top] = x;
	for (int i = h[x]; i; i = nxt[i]) {
		int y = to[i];
		if (!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		} else if (!scc[y]) {
			low[x] = min(low[x], dfn[y]);
		}
	}

	if (low[x] == dfn[x]) {
		scc[x] = ++sccTot;
		while (st[top] != x) {
			scc[st[top--]] = sccTot;
		}
		top--;
        // x 出栈
	}
}

int main() {
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d %d", &x, &y);
		add(x, y);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);

	printf("%d
", sccTot);
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", scc[i]);
	return 0;
}

参考资料

• Tarjan 强连通分量学习笔记 | Menci's Blog