BZOJ 2115 【WC2011】 Xor

Description

Input

第一行包含两个整数N和 M， 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。

Output

仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。

　　这道题好像是很久以前学线性基的时候留下的……现在来填个坑……

　　首先，由于异或有一个很好的性质，就是两个相同的数异或起来等于零。所以，一条边重复走两遍不会对答案产生贡献。这启示我们可以从一个点$u$走到点$v$，在$v$所在的一个环上走一圈，再走回到$u$，就可以得到$v$所在环的异或和。这样的话，我们就可以随意抠一条$1$到$n$的路径出来，假如异或和为$ans$，问题就转化这样了：有一个数$ans$和一些数(这些数就是每个环的异或和)，可以选择是否异或上每个数，求$ans$的最大值。

　　然后，我们要找出所有的环显然不现实。但是，我们可以发现所有环的异或和可以由一些环来得到。所以，在$dfs$的时候，一条非树边所连接的两个点加上这条非树边构成了一个环，我们把这种环全部找出来，所有环的异或和就都可以由这些环的异或和异或得到。所以，我们对这些异或和建立一个线性基，最后更新一下$ans$就可以了。

　　下面贴代码(其实只有一遍$dfs$和一个线性基)：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 50010
#define maxm 200010

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,m,head[maxn],next[maxm],to[maxm],tt;
llg c[maxm],dis[maxn],p[64],ans;
bool vis[maxn];

int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),q=1;
	while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
	return q?-w:w;
}

void link(int x,int y){
	to[++tt]=y;next[tt]=head[x];head[x]=tt;
	to[++tt]=x;next[tt]=head[y];head[y]=tt;
	scanf("%lld",&c[tt]); c[tt-1]=c[tt];
}

void push(llg x){
	for(int i=62;i>=0;i--)
		if(x&(1LL<<i))
			if(p[i]) x^=p[i];
			else{p[i]=x;break;}
}

void dfs(int u,int fa){
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
		if(v!=fa)
			if(!vis[v]) dis[v]=dis[u]^c[i],dfs(v,u);
			else push(dis[u]^dis[v]^c[i]);
}

int main(){
	File("a");
	n=getint(); m=getint();
	while(m--) link(getint(),getint());
	dfs(1,0); ans=dis[n];
	for(int i=62;i>=0;i--)
		if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}