• 树链剖分


    树链剖分

    前置知识:线段树

    树链剖分主要解决的是树上的操作,具体实现方法是把树上的操作变成对区间的操作。

    先定义几个东西

    树链:不拐弯的路径

    重儿子:子树大小最大的子节点

    重链:从一点出发,一直选择重儿子向下走,走到叶子节点

    轻边:不属于任何一条重链的边

    如图:对于节点(0)来说,他的重儿子是节点(2),因为(2)的子树最大。他所在的重链是(0-2-4-5-6)

    树链剖分,即把一条重链上的点放在一个连续的区间里面构成一个序列。比如上图剖玩以后有三条链,(0-2-4-5-6)(1-3)(7),这样在对路径或者子树操作的时候就可以转化为序列的区间操作了。树上路径由(O(logN))个区间组成。

    树剖的核心是两遍(dfs),其中第一遍处理子树大小和重儿子,第二遍剖出重链

    第一遍:

    int fa[N];//父亲节点 
    int dep[N];//节点深度 
    int siz[N];//子树大小 
    int son[N];//重儿子
    void dfs1(int u, int f)
    {
    	son[u] = 0;
    	siz[u] = 1;
    	fa[u] = f;
    	dep[u] = dep[f] + 1;
    	for(int i = head[u]; i; i = edg[i].nxt)
    	{
    		int v = edg[i].to;
    		if(v != f)
    		{
    			dfs1(v, u);
    			siz[u] += siz[v];
    			if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;//处理重儿子
    		}
    	}
    }
    

    第二遍:

    int dfn[N];//时间戳 
    int top[N];//这个点所在重链的顶端节点 
    int w[N];//新建序列的值 
    int val[N];//原来节点的值 
    void dfs2(int u, int f)
    {
    	dfn[u] = ++tim;
    	w[tim] = val[u];//把原来节点和序列中元素对应 
    	if(son[f] == u) top[u] = top[f];//重儿子所在重链的顶端节点和他父亲所在重链的顶端节点一个 
    	else top[u] = u;//自己作为重链的顶端节点 
    	if(son[u]) dfs2(son[u], u);//优先dfs重链,保证区间连续 
    	for(int i = head[u]; i; i = edg[i].nxt)
    	{
    		int v = edg[i].to;
    		if(v != f && v != son[u]) dfs2(v, u);//dfs其他儿子 
    	}
    }
    

    查询两个节点之间路径的值:实质就是找两个节点的(LCA),处理(LCA)到两个节点的信息。

    首先如果这两个节点在同一条重链上,这两个点之间的区间一定是连续的,直接查询就好了。

    否则每次找(top)的深度节点较大的节点,统计(top)到这一节点的信息,然后跳到(top)的父亲,重复操作

    int querysum(int u, int v)
    {
    	int ans = 0;
    	while(top[u] != top[v])//不在一条重链上 
    	{
    		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);//找顶端节点深度较大的 
    		ans += query1(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u]);
    		u = fa[top[u]];
    	}//在同一条重链上 
    	if(dfn[u] > dfn[v]) swap(u, v);
    	ans += query1(1, 1, n, dfn[u], dfn[v]);
    	return ans;
    }
    

    一道例题

    P2590 [ZJOI2008]树的统计

    甚至连懒标记都不用

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 30005;
    int n, m, head[N], ecnt;
    struct edge
    {
    	int to, nxt;
    }edg[N << 1];
    void add(int u, int v)
    {
    	edg[++ecnt].to = v;
    	edg[ecnt].nxt = head[u];
    	head[u] = ecnt;
    }
    int dfn[N];//时间戳 
    int top[N];//这个点所在重链的顶端节点 
    int w[N];//新建序列的值 
    int val[N];//原来节点的值 
    void dfs2(int u, int f)
    {
    	dfn[u] = ++tim;
    	w[tim] = val[u];//把原来节点和序列中元素对应 
    	if(son[f] == u) top[u] = top[f];//重儿子所在重链的顶端节点和他父亲所在重链的顶端节点一个 
    	else top[u] = u;//自己作为重链的顶端节点 
    	if(son[u]) dfs2(son[u], u);//优先dfs重链,保证区间连续 
    	for(int i = head[u]; i; i = edg[i].nxt)
    	{
    		int v = edg[i].to;
    		if(v != f && v != son[u]) dfs2(v, u);//dfs其他儿子 
    	}
    }
    int sum[N << 2], maxn[N << 2];
    void pushup(int cnt)
    {
    	sum[cnt] = sum[cnt << 1] + sum[cnt << 1 | 1];
    	maxn[cnt] = max(maxn[cnt << 1], maxn[cnt << 1 | 1]);
    }
    void build(int cnt, int l, int r)
    {
    	if(l == r)
    	{
    		sum[cnt] = maxn[cnt] = w[l];
    		return;
    	}
    	int mid = l + r >> 1;
    	build(cnt << 1, l, mid);
    	build(cnt << 1 | 1, mid + 1, r);
    	pushup(cnt);
    }
    void update(int cnt, int l, int r, int x, int k)
    {
    	if(l == r)
    	{
    		sum[cnt] = maxn[cnt] = k;
    		return;
    	}
    	int mid = l + r >> 1;
    	if(x <= mid) update(cnt << 1, l, mid, x, k);
    	else if(x > mid) update(cnt << 1 | 1, mid + 1, r, x, k);
    	pushup(cnt);
    }
    int query1(int cnt, int l, int r, int nl, int nr)
    {
    	if(l >= nl && r <= nr) return sum[cnt];
    	int ans = 0, mid = l + r >> 1;
    	if(nl <= mid) ans += query1(cnt << 1, l, mid, nl, nr);
    	if(nr > mid) ans += query1(cnt << 1 | 1, mid + 1, r, nl, nr);
    	return ans;
    }
    int query2(int cnt, int l, int r, int nl, int nr)
    {
    	if(l >= nl && r <= nr) return maxn[cnt];
    	int ans = -99999999, mid = l + r >> 1;
    	if(nl <= mid) ans = max(ans, query2(cnt << 1, l, mid, nl, nr));
    	if(nr > mid) ans = max(ans, query2(cnt << 1 | 1, mid + 1, r, nl, nr));
    	return ans;
    }
    int querysum(int u, int v)
    {
    	int ans = 0;
    	while(top[u] != top[v])//不在一条重链上 
    	{
    		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);//找顶端节点深度较大的 
    		ans += query1(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u]);
    		u = fa[top[u]];
    	}//在同一条重链上 
    	if(dfn[u] > dfn[v]) swap(u, v);
    	ans += query1(1, 1, n, dfn[u], dfn[v]);
    	return ans;
    }
    int querymax(int u, int v)
    {
    	int ans = -99999999;
    	while(top[u] != top[v])
    	{
    		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
    		ans = max(ans, query2(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u]));
    		u = fa[top[u]];
    	}
    	if(dfn[u] > dfn[v]) swap(u, v);
    	ans = max(ans, query2(1, 1, n, dfn[u], dfn[v]));
    	return ans;
    }
    int main()
    {
    	scanf("%d", &n);
    	for(int i = 1; i < n; i ++)
    	{
    		int u, v;
    		scanf("%d%d", &u, &v);
    		add(u, v);add(v, u);
    	}
    	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &val[i]);
    	dfs1(1, 0);
    	dfs2(1, 0);
    	build(1, 1, n);
    	scanf("%d", &m);
    	for(int i = 1; i <= m; i ++)
    	{
    		int x, y;
    		char opt[10];
    		cin >> opt;
    		scanf("%d%d", &x, &y);
    		if(opt[1] == 'H') update(1, 1, n, dfn[x], y);
    		if(opt[1] == 'M') printf("%d
    ", querymax(x, y));
    		if(opt[1] == 'S') printf("%d
    ", querysum(x, y));
    	}
    }
    
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