• P3389 【模板】高斯消元法


    高斯消元求解n元一次线性方程组的板子题:

    先举个栗子:

    • 2x + y -   z =  8-----------①
    •-3x - y + 2z = -11---------②
    •-2x + y + 2z = -3----------③
     先将它存到矩阵中:

    ②+①* (2/3)

    ③+①

    接着对①变换

    得到x,y,z;

    但是我们想到,如果它有在原方程中就有两个或多个方程本质上是一样的,那他不就解不出来了咩?

    比如:

    最后得出:

    这显然就属于无解的情况

    又比如:

    这显然就属于无穷多解的情况

    这里我们引入一个定理:

    一个矩阵的行列式如果不为0,方程组有唯一解,否则无解或者无穷多解


    然后我们就可以通过计算行列式来判断有无解辣!


    高斯消元求解线性方程组的步骤:

    Step1:利用高斯消元将原矩阵(蒟阵 变为对角矩阵    

       具体方法:将a[i][i]除成1,这一行也进行同样的变换,用这个1去消其他的项

    Step2:将对角线上的值连乘得到行列式
        一个矩阵的行列式如果不为0,方程组有唯一解,否则无解或者无穷多解
     

    在将原矩阵变为对角矩阵的过程中,线性方程组就已经消成了ax=b的形式,故只需要判断有无解即可;

    求行列式:

    先了解一下运算法则:传送门

    行列式的计算:

    举两个例子

    测试代码如下(注意是这里输入n是未知数个数,m是方程个数,对于这个题mn输入一样的就可以辣!):

     1 #include<iostream>
     2 #include<algorithm>
     3 #include<cstdio>
     4 #include<cstring>
     5 #include<cmath>
     6 #include<cstdlib>
     7 using namespace std;
     8 typedef long long ll;
     9 typedef long double ld;
    10 typedef pair<int,int> pr;
    11 const double pi=acos(-1);
    12 #define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
    13 #define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
    14 #define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
    15 #define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
    16 #define pb push_back
    17 #define mp make_pair
    18 #define fi first
    19 #define sc second
    20 ld eps=1e-9;
    21 ll pp=1000000007;
    22 ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
    23 ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
    24 ll read(){
    25     ll ans=0;
    26     char last=' ',ch=getchar();
    27     while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
    28     while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    29     if(last=='-')ans=-ans;
    30     return ans;
    31 }
    32 //head
    33 int n,m;
    34 double a[100][100];
    35 
    36 bool check(int k){
    37     if(fabs(a[k][n+1])<eps)return 1;
    38     rep(i,1,n)
    39         if(fabs(a[k][i])>eps)return 1;
    40     return 0;
    41 }
    42 int main(){
    43     
    44     n=read();m=read();
    45     // a_i,1 a_i,2 ... a_i,n a_i,n+1
    46     rep(i,1,m)
    47         rep(j,1,n+1)a[i][j]=read();
    48     rep(j,1,m){
    49             rep(k,1,n+1)cout<<a[j][k]<<" ";
    50             puts("");
    51         }
    52     int flag=0;
    53     rep(i,1,n){
    54         int t=i;
    55         while(a[t][i]==0 && t<=n)t+=1;
    56         if(t==n+1){
    57             flag=1;
    58             continue;
    59         }
    60         rep(j,1,n+1)swap(a[i][j],a[t][j]);//交换两行 
    61         double kk=a[i][i];//每一行对角线上的值 
    62         rep(j,1,n+1)a[i][j]/=kk;
    63         rep(j,1,m)//循环m个式子 开始消元 
    64             if(i!=j){
    65                 double kk=a[j][i];
    66                 rep(k,1,n+1)
    67                     a[j][k]-=kk*a[i][k];//这样就能保证正好把第i列的数除了a[i][i] 都消成0 
    68             }
    69         puts("------------");
    70         rep(j,1,m){
    71             rep(k,1,n+1)cout<<a[j][k]<<" ";
    72             puts("");
    73         }
    74     }
    75     if(flag){//如果flag=1,可能是 无解,也可能是无穷解 
    76         rep(i,1,m)
    77             if(!check(i)){
    78                 printf("No solution
    ");
    79                 return 0;
    80             }
    81         printf("So many solutions
    ");
    82     }
    83     
    84 }

     本题AC代码:稍微改一下就行啦

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<cstdlib>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef long double ld;
    typedef pair<int,int> pr;
    const double pi=acos(-1);
    #define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
    #define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
    #define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
    #define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define fi first
    #define sc second
    ld eps=1e-9;
    ll pp=1000000007;
    ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
    ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
    ll read(){
        ll ans=0;
        char last=' ',ch=getchar();
        while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
        while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
        if(last=='-')ans=-ans;
        return ans;
    }
    //head
    int n,m;
    double a[100][100];
    
    bool check(int k){
        if(fabs(a[k][n+1])<eps)return 1;
        rep(i,1,n)
            if(fabs(a[k][i])>eps)return 1;
        return 0;
    }
    int main(){
        
        n=read();m=n;
        // a_i,1 a_i,2 ... a_i,n a_i,n+1
        rep(i,1,m)
            rep(j,1,n+1)a[i][j]=read();
        
        int flag=0;
        rep(i,1,n){
            int t=i;
            while(a[t][i]==0 && t<=n)t+=1;
            if(t==n+1){
                flag=1;
                continue;
            }
            rep(j,1,n+1)swap(a[i][j],a[t][j]);//交换两行 
            double kk=a[i][i];//每一行对角线上的值 
            rep(j,1,n+1)a[i][j]/=kk;
            rep(j,1,m)//循环m个式子 开始消元 
                if(i!=j){
                    double kk=a[j][i];
                    rep(k,1,n+1)
                        a[j][k]-=kk*a[i][k];//这样就能保证正好把第i列的数除了a[i][i] 都消成0 
                }
        }
        if(flag){
            
            return printf("No Solution
    "),0;
        }
        rep(j,1,m){
                printf("%.2lf",a[j][n+1]/a[j][j]);
                puts("");
            }
        
        
    }
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