矩阵树定理

在(zay)说(T3 balabalabalabala)所以它是个矩阵树时我是懵逼的
啥玩意？矩阵树？那是啥？能吃吗？
于是就有了盯着洛谷日报并一脸懵逼的我以及这篇博客

前置芝士

0.有个脑子
1.行列式求值
2.上三角矩阵的行列式的值等于其对角线上所有的值的乘积
3.高斯消元
4.矩阵乘法

一些定义

一.度数矩阵(A)
(A_{i,i}=degree_i),其余为0。

二.邻接矩阵(B)
(B_{i,j})为(i,j)两点之间的边的边权(如果有重边则视为边权累加)

三.(Kirchhoff)（基尔霍夫）矩阵(L)
(它也叫(Laplacian)(拉普拉斯)矩阵)
(L_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j})
注意不要反了

四.关联矩阵(M)
先给这个无向图定向，随便定向即可.

[M_{i,j}=egin{cases} 1&点i为第j条边的起点 \ -1&点i为第j条边的终点\ 0 &其他情况 end{cases}]

矩阵树定理

图(G)中生成树的边权之和为(L)的任意一个代数余子式的行列式（边权为1时就是生成树的个数）
代数余子式：设(K_{i,j})为(L)的一个代数余子式，则(K_{i,j})为(L)的行列式删去第(i)行第(j)列之后的行列式（描述十分不严谨，感性理解一下）

证明

我们先看两个结论
1.(BB^T=L)((B^T)为(B)的转置矩阵)
证明：
(B^T_{i,j}=B_{j,i})
设(BB^T=K)

[ K_{i,j}=sum_{k=1}^n B_{i,k}B^T_{k,j}\ =sum_{k=1}^nB_{i,k}B_{j,k}\ ]

发现算出来就是(i,j)之间的边数(cdot -1)

2.设(C,D)是两个矩阵（不一定是方阵，但要求(C)可以左乘(D)）,则有
(|CD|=sum_{s}C_{sk}D_{ks}),其中(s)为大小为(n)的子集((n)是这个矩阵的长和宽的最小值)，(sum)后面的东西就是(C)只保留子集里面的数对应的列，(D)只保留对应的行，乘起来的东西。
证明：我不会证

3.(L)矩阵的一些性质
(|L|=0)
(L)每行每列的和都是0，高斯消元过后，行列式的值就是0
当图不连通时，(L)的任意一个余子式(M_{i,i})为0
当图是一棵树时，(L)的任意一个余子式(M_{i,i})为1
当图是一棵树时，(L_{1,1}+1)后，(|L|=1),余子式(M_{i,i})为1
证明感性理解一下叭

我们设(L_i)表示(L)去掉第(i)行第(i)列后的矩阵，这样(|L_i|)就是(L)的一个代数余子式，根据上面的结论，可以得到
(|L_i|=|B_iB^T_i|)(=sum_sB_{isk}B^T_{iks}=sum_s B_{isk}^2)，其中(s)的大小就是(n-1)
一个(s)就相当于从原图中找了(n-1)条边,结合上面的性质，如果这(s)条边可以组成树，则贡献为1，否则为0.枚举完所有的(s)之后的总贡献就是生成树是数量