一道立体几何大题求体积问题

题目：

如图，在三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 中，侧面 \(AA_1C_1C\perp\) 底面 \(ABC\) ，\(AA_1=A_1C=AC=2\) ，\(AB=BC\) ，且 \(AB\perp BC\) ，\(O\) 为 \(AC\) 的中点.

(1) 求证：平面 \(A_1B_1O\perp\) 平面 \(BCA_1\) ；

(2) 若点 \(E\) 在 \(BC_1\) 上 ，且 \(OE//\) 平面 \(A_1AB\) ，求三棱锥 \(E-A_1BC\) 的体积.

解析：

(1) 因为三角形 \(AA_1C\) 为等边三角形，所以 \(A_1O\perp AC\)，因为侧面 \(AA_1C_1C\perp\) 底面 \(ABC\)，且面 \(AA_1C_1C\;\cap\) 底面 \(ABC=AC\)，所以 \(A_1O\perp\) 平面 \(ABC\)，所以 \(A_1O\perp BC\) . 又因为 \(BC\perp AB,AB//A_1B_1\) ，所以 \(BC\perp A_1B_1\) . 而 \(A_1O\;\cap A_1B_1=A_1\)，所以 \(BC\perp\) 平面 \(A_1B_1O\) ，因为 \(BC\subset\) 平面 \(BCA_1\) ，所以平面 \(BCA_1//\) 平面 \(A_1B_1O\) .

(2) 如图，连接 \(AB_1\) ，\(OE\) .

因为 \(OE//\) 平面 \(A_1ABB_1\)，\(OE\subset\) 平面 \(AB_1C\) ，平面 \(AB_1C\;\cap\) 平面 \(A_1ABB_1=AB_1\) ，所以 \(OE//AB_1\) . 又因为 \(O\) 为 \(AC\) 中点，所以 \(E\) 为 \(B_1C\) 的中点，也即 \(BC_1\) 与 \(B_1C\) 的交点。

方法一：

所以

\[V_{E-A_1BC}=\dfrac12V_{C_1-A_1BC}=\dfrac12V_{B-A_1CC_1}=\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2)\cdot1=\dfrac{\sqrt3}{6} \]

方法二：

如图，以 \(O\) 为原点建立空间直角坐标系，则

\(A_1(0,0,\sqrt3),B(1,0,0),C(0,1,0),C_1(0,2,\sqrt3),E\Big(\dfrac12,1,\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)\) ，故有 \(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-\sqrt3),\overrightarrow{A_1C}=(0,1,-\sqrt3),\overrightarrow{BE}=\Big(-\dfrac12,1,\dfrac{\sqrt3}2\Big)\) ，设 \(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\) 为平面 \(A_1BC\) 的法向量，则

\[\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{A_1C}=0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}x-\sqrt3z=0\\y-\sqrt3z=0\end{cases} \]

令 \(x=\sqrt3\) ，则 \(\overrightarrow{n}=(\sqrt3,\sqrt3,1)\)，则点 \(E\) 到平面 \(A_1BC\) 的距离

\[d=\dfrac{\Big|\;\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BE}\;\Big|}{|\;\overrightarrow{n}\;|}=\dfrac{\sqrt{21}}{7} \]

又在等腰三角形 \(ABC\) 中，\(S_{\triangle A_1BC}=\dfrac{\sqrt7}{2}\) ，所以

\[V_{E-A_1BC}=\dfrac13\cdot S_{\triangle A_1BC}\cdot d=\dfrac{\sqrt3}{6} \]