2020年暑假期间，湖南某新开发区的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 (dfrac{6}{13}) ，从第二次看广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 (dfrac23) ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率 (dfrac45) . 记观众甲第 (n) 次看到广告后不来此景区的概率为 (P_n) ，若当 (ngeqslant2) 时，(P_nleqslant M) 恒成立，则 (M) 的最小值为 ((qquad))
A. (dfrac{17}{65})
B. (dfrac{6}{13})
C. (dfrac{3}{13})
D. (dfrac2{15})
解析：
依题意有
[P_n=dfrac{1}{3}P_{n-1}+dfrac15(1-P_{n-1})
]
变形得
[P_n-dfrac3{13}=dfrac2{15}(P_{n-1}-dfrac3{13})
]
所以 ({P_n-dfrac3{13}}) 是以 (dfrac3{13}) 为首项，(dfrac2{15}) 为公比的等比数列，则
[P_n-dfrac3{13}=dfrac3{13}cdotBig(dfrac2{15}Big)^{n-1};Longrightarrow;P_n=dfrac3{13}cdotBig(dfrac2{15}Big)^{n-1}+dfrac{3}{13}
]
易知 (P_n) 单调递减，故当 (ngeqslant2) 时， ((P_n)_{max}=P_2=dfrac{17}{65}) ，所以 (Mgeqslantdfrac{17}{65}) ，答案选 A。