已知数列 ({a_n}) 中，(a_1=5) ，(a_2=2) ，(a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2};(ngeqslant3)) ，对于这个数列的递推公式作一研究，能否写出它的通项公式？
解析：
由题意得 (a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n};(ngeqslant1)) ，设 (a_{n+2}-lambda a_{n+1}=mu(a_{n+1}-lambda a_{n})) ，变形得
[a_{n+2}=(lambda+mu)a_{n+1}-lambdamu a_{n}
]
对比系数得 (lambda+mu=2,lambdamu=-3) ，解得
[egin{cases}lambda=3\[1ex]mu=-1end{cases}quad orquad egin{cases}lambda=-1\[1ex]mu=3end{cases}
]
当 (lambda=-1,mu=3) 时，(a_{n+2}+a_{n-1}=3(a_{n+1}+a_{n})) ，则
[dfrac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n}}=3
]
所以 ({a_{n+1}+a_{n}}) 是以 (7) 为首项，(3) 为公比的等比数列，得
[a_{n+1}+a_n=7cdot3^{n-1}quadcdots (1)
]
当 (lambda=3,mu=-1) 时，(a_{n+2}-3a_{n-1}=-1(a_{n+1}-3a_{n})) ，则
[dfrac{a_{n+2}-3a_{n+1}}{a_{n+1}-3a_{n}}=-1
]
所以 ({a_{n+1}-3a_{n}}) 是以 (-13) 为首项，(-1) 为公比的等比数列，得
[a_{n+1}-3a_{n}=-13cdot(-1)^{n-1}quadcdots(2)
]
((1)-(2)) 得
[a_n=dfrac{7}{4}cdot3^{n-1}+dfrac{13}{4}cdot(-1)^{n-1}
]