学习笔记：数学-GCD与LCM-整除的基础概念

整除

定义

若(displaystyle a\%b=0)​​​​​，则称b整除a（a被b整除）

表示

b整除a： (displaystyle b|a Leftrightarrow a\%b=0)​

性质

1. (displaystyle a | b Leftrightarrow (-a)| b Leftrightarrow abs(a)|abs(b))​​​
2. (displaystyle a | b ,b | c Leftrightarrow a | c)​
3. (displaystyle a | b , a | c Leftrightarrow exists x,y , a| bx+cy)​​​​​
4. (displaystyle m eq 0 , a | b Leftrightarrow ma | mb)​
5. (displaystyle a | b,b | a Leftrightarrow b=±a)​

基于整除的专有名词

因数（约数）

所有满足 (displaystyle a|b) 的 (a) 为 $ b$ 的全部因数（也就是说满足 (a|b) 的 (a) 就是 (b) 的一个因数）

性质

​ 成对出现：(displaystyle d_1,d_2,d_3,cdots)​​为 (b)​ ​的全部约数 ({displaystyleLeftrightarrow frac{b}{d_1},frac{b}{d_2},frac{b}{d_3}, ormalsizecdots})​​为b的全部约数

（也就是说如果确定了 (d_1) 是约数，那么 (displaystyle frac{b}{d_1})​ 肯定也是另一个约数）

质数

约数只有(1)​​​和自身的自然数

质数的数量

用于时间复杂度分析和取数组大小

(1sim n)​中质数数量的上界约为(displaystylefrac{n}{ln n})​​​​

​ 下界约为 (displaystylelog_2(log_2x))

合数

能被除了(1)​​和自身的其他正整数整除的自然数

​ 易错：0、1既非质数也非合数，但是注意题干上是非质数（含0，1）还是合数（不含0，1）