零钱兑换(动态规划）

题目描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

 

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

 

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

 

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

 

提示：

 1 <= coins.length <= 12
 1 <= coins[i] <= 231 - 1
 0 <= amount <= 104

思路分析

本题拟采用动态规划算法，假设F(i)是当amount = i时所需要的最少硬币数量，此时F(0)~F(i-1)均已知，由此可得动态规划方程：

 其中j为面额硬币中的一个元素。此时动态规划算法的时间复杂度为O(Sn），S为硬币的种类。

代码实现

//利用动态规划求解此题
class Solution {
public:   
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        //假设需要的硬币数目比钱本身还多，说明没有合适的组成方式
        int MinCoins = amount + 1;
        vector<int> dp(amount + 1, MinCoins);
        dp[0] = 0;
        //动态规划的过程，每一个i都找到最少的硬币数量
        for(int i = 1; i <= amount; i ++){
            for(int j: coins){
                if(j <= i){
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1);
                }
            }
        }
        //返回时判断是否有合适的组合方式
        if(dp[amount] >= amount + 1)
            return -1;
        else
            return dp[amount];
    }
};