RMQ ST表 静态区间最大值

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)

作用：在一个给定的序列A中求区间 [ x , y ] 的最值

　　设序列长度为n，有m次询问

优点：预处理O(nlogn)，询问O(1)，总复杂度为O(nlogn+m)，与线段树和树状数组相比而言，RMQ在处理询问次数多的情况下有绝对优势

思想：递推/动态规划/倍增

预处理：

　　首先我们预处理出数组 f [ i ] [ j ] ，代表从第 i 位开始的 2^j 位的最大值，即 [ i , i + 2^j -1 ] 。

　　如 f [ 1 ] [ 1 ] 表示从 1~2 ，f [ 2 ] [ 3 ]表示从 2~9

　　那么将 j 作为阶段 ，[ i , i + 2^j -1 ] 可以由 [ i , i + 2^j-1 - 1] 和 [ i + 2^j-1 , i + 2^j - 1] 两个区间得到

　　可以表示为如下的递推式。

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

　　因为是 f [ i ] [ j ] 从 j - 1 得来，所以将 j 设为阶段，套在外层循环

　　其中第一个 for 的范围根据题目范围设定 ， 本模板的数据范围参考 [洛谷 P3865 【模板】ST表]

for(int j=1;j<=21;++j)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

　　考虑到 f [ i ] [ 0 ] 为第 i 位 本身的数，所以可以将原序列的数读入到 f [ i ] [ 0 ]中

查问：

       把 [ x , y ] 区间的长度记为 len = y - x + 1 ， 记 k=log₂(len)

　　那么[ x , y ] 区间的最大值为区间 [ x , x + 2^k - 1] 和 [ y - 2^k +1 , y] 的最大值，可得如下

int query(int x,int y){
    int k=log2(y-x+1);
    return max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]);
}

　　我们知道 log₂ 是向下取整 因此 保证以上两个小区间不超大区间的范围

　　因为一个小区间是从左边头开始，一个小区间是从右边头开始，小区间长度相等，小区间长度记为len2，即使log₂ 向下取整，两小区间仍重叠，

　　即 len2 = 2^log₂(len) ，log₂  向下取整， 2^log₂(len) > len/2  即 2*len2>len　　

　　那么就可以保证query函数的正确性了

贴一下代码，模板题是[洛谷 P3865 【模板】ST表]

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
using namespace std;

int f[maxn][22],n,m;

int query(int x,int y){
    int k=log2(y-x+1);
    return max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&f[i][0]);
    for(int j=1;j<=21;++j)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",query(x,y));
    }
}

　　还有，这是绝对AC不了的，因为没加快读，会TLE的