• 数据结构与算法—排序(冒泡排序,选择排序,插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序)


    排序

    排序算法(英语:Sorting algorithm)是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

    排序算法的稳定性

    稳定性:稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的,当有两个相等键值的纪录R和S,且在原本的列表中R出现在S之前,在排序过的列表中R也将会是在S之前。
    假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

    (4, 1)  (3, 1)  (3, 7)(5, 6)
    

    在这个状况下,有可能产生两种不同的结果,一个是让相等键值的纪录维持相对的次序,而另外一个则没有:

    (3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)  (维持次序, 稳定排序)  
    (3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)  (次序被改变,不稳定排序)   
    

    1. 冒泡排序

    冒泡排序(英语:Bubble Sort)是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列,一次比较两个元素,如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换,也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

    冒泡排序算法的运作如下:

    • 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大(升序),就交换他们两个。
    • 对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后,最后的元素会是最大的数。
    • 针对所有的元素重复以上的步骤,除了最后一个。
    • 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤,直到没有任何一对数字需要比较。

    (1)分析

    交换过程图示(第一次):

    那么我们需要进行n-1次冒泡过程,每次对应的比较次数如下图所示:

    (2)代码实现

    def bubble_sort(alist):
        """冒泡排序法"""
        # 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程  
        # 每一次需要比较的次数分别为:n-1,n-2,n-3,...,1
        for j in range(len(alist)-1,0,-1):
            for i in range(j):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]  
    
    li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    bubble_sort(li)
    print(li)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    改进

    有时候序列本身就可能已部分或全部排好序,不需要全部遍历交换一遍。如果没有遍历完就提前完成排序,可以直接退出。
    思路是,可以对每一次冒泡过程的交换次数做个计数,若某个过程的交换次数已为0,则该子序列已经完成排序,则更小的子序列也一样是排好序的。

    def bubble_sort(alist):
        """冒泡排序法的改进"""
        # 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程  
        # 每一次需要比较的次数分别为:n-1,n-2,n-3,...,1  
        for j in range(len(alist)-1,0,-1):
            # 对每一次冒泡过程的交换次数计数
            count = 0 
            for i in range(j):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]  
                    count += 1
            # 若还未遍历完全部冒泡过程就完成了排序,则可以提前退出
            if count == 0:
                break
                    
    
    li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    bubble_sort(li)
    print(li)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    (3)时间复杂度

    • 最优时间复杂度:(O(n)) (表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素,排序结束。改进法可以做到)
    • 最坏时间复杂度:(O(n^2))
    • 稳定性:稳定

    2. 选择排序

    选择排序(Selection sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小(大)元素,存放到未排序序列的起始位置,然后,再从剩余未排序元素中继续寻找最小(大)元素,然后放到剩下的未排序序列的起始位置。以此类推,直到所有元素均排序完毕。

    选择排序和冒泡排序的区别:
    选择排序与冒泡排序都遍历未排序的元素进行比较,因此比较容易混淆。 选择排序与冒泡排序的区别在于 每一轮遍历比较未排序序列时,冒泡排序两两比较,最多可能交换n-1次位置,从而把最大值放到未排序序列尾部;而选择排序是两辆比较时不改变元素位置,只记录下未排序序列中最小值下标,最后最多只交换1次位置(最小值与未排序序列首交换位置)。

    (1)分析

    (2)代码

    def select_sort(alist):
        """选择排序"""
        n = len(alist)
        # 注意边界值,可以画图理解
        for i in range(n-1):
            # min代表最小元素的下表,初始化取还未排序的第一个值
            min = i
            for j in range(i+1,n):
                # 将最小元素与未排序的元素比较,若存在小于min下标对应的值,则更新min下标
                if alist[min] > alist[j]:
                    min = j
            # 将 未排序元素的第一个值 与 未排序元素中的最小值 交换位置
            if min != i:
                alist[i],alist[min] = alist[min],alist[i]
    li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    select_sort(li)
    print(li)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    (3)复杂度

    • 最优时间复杂度:O(n2)
    • 最坏时间复杂度:O(n2)
    • 稳定性:不稳定(考虑升序每次选择最大的情况)

    3. 插入排序

    插入排序(英语:Insertion Sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列,对于未排序数据,在已排序序列中从后向前扫描,找到相应位置并插入。插入排序在实现上,在从后向前扫描过程中,需要反复把已排序元素逐步向后挪位,为最新元素提供插入空间。

    (2) 分析

    (2)代码

    def insert_sort(alist):
        """插入排序"""
        n = len(alist)
        # 从第二个位置,即下标为1的元素开始向前插入
        for i in range(1, n):
            # 从第i个元素开始向前比较,如果小于前一个元素,交换位置
            for j in range(i,0,-1):
                if alist[j] < alist[j-1]:
                    alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
                    
    li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    insert_sort(li)
    print(li)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    改进

    • 当alist[j] < alist[j-1] 需要交换位置
    • 但是当alist[j] > alist[j-1]时,由于j-1之前都是有序的,即alist[j] 会大于alist[j-1]前的所有数,所以可以提前退出。
    def insert_sort(alist):
        """插入排序"""
        n = len(alist)
        # 从第二个位置,即下标为1的元素开始向前插入
        for i in range(1, n):
            # 从第i个元素开始向前比较,如果小于前一个元素,交换位置
            for j in range(i,0,-1):
                if alist[j] < alist[j-1]:
                    alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
                else:
                    break
                    
    li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    insert_sort(li)
    print(li)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    (3)时间复杂度

    • 最优时间复杂度:O(n) (升序排列,序列已经处于升序状态)
    • 最坏时间复杂度:O(n2)
    • 稳定性:稳定

    4.希尔排序

    希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序,是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。

    希尔排序的基本思想是:将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序,重复这过程,不过每次用更长的列(步长更长了,列数更少了)来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法,算法本身还是使用数组进行排序。

    例如,假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ],如果我们以步长为5开始进行排序,我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法,这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成):

    13 14 94 33 82
    25 59 94 65 23
    45 27 73 25 39
    10
    

    然后我们对每列进行排序:

    10 14 73 25 23
    13 27 94 33 39
    25 59 94 65 82
    45
    

    将上述四行数字,依序接在一起时我们得到:[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了,然后再以3为步长进行排序:

    10 14 73
    25 23 13
    27 94 33
    39 25 59
    94 65 82
    45
    

    排序之后变为:

    10 14 13
    25 23 33
    27 25 59
    39 65 73
    45 94 82
    94
    

    最后以1步长进行排序(此时就是简单的插入排序了)

    (1) 分析

    (2)代码

    def shell_sort(alist):
        n=len(alist)
        gap = n //2
        while gap >0:
            # 各个小组以gap为界,gap后的元素开始向前插入
            for i in range(gap, n):
                # 从第i个元素开始向前比较,如果小于前一个元素(相距gap),交换位置
                for j in range(i, 0, -gap):
                    if alist[j] < alist[j-gap]:
                        alist[j], alist[j-gap] = alist[j-gap], alist[j]
                    else:
                        break
            # 缩短gap长度
            gap = gap //2
    
    alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    shell_sort(alist)
    print(alist)
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    (3)时间复杂度

    • 最优时间复杂度:根据步长序列的不同而不同
    • 最坏时间复杂度:O(n2)
    • 稳定想:不稳定

    5.快速排序

    快速排序(英语:Quicksort),又称划分交换排序(partition-exchange sort),通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。

    1.分析

    2.代码

    def quick_sort(alist, start, end):
        """快速排序算法"""
        # 递归的终止条件
        if start >= end:
            return
        # 定义两个指针分别初始化指向要排序序列的首尾
        low = start
        high = end
        mid = alist[start]
        # 当low和high没有重叠的时候,需要不断比较
        while low < high:
            while low<high and alist[high]>=mid:
                high -= 1
            alist[low] = alist[high]
            while low<high and alist[low]<mid:
                low += 1
            alist[high]=alist[low]
        # 此时low和high指向同一个位置,即为mid所在位置
        alist[low] = mid
        # 递归调用
        quick_sort(alist,start,low-1)
        quick_sort(alist,low+1,end)
        
    alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
    print(alist)   
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    3.时间复杂度

    分析思路:

    (1) 首先,每次分成两部分分别进行排序,是分区运算,数组的元素都会在每次循环中走访过一次,因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
    (2) 然后,一个长为n的序列,每次分为两部分,最终每部分都分为只有1个元素。要计算多少层?
    最好情况为log(n),即每次恰好都是对半分,n/(2^x)=1 -> x=logn。最坏情况为n,即每次分为的两部分都为首个元素和其他。

    因此,总的时间复杂度为:

    • 最优时间复杂度:O(nlogn)
    • 最坏时间复杂度:O(n2)
    • 稳定性:不稳定

    6.归并排序

    归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组,再合并数组。

    将数组分解最小之后,然后合并两个有序数组,基本思路是比较两个数组的最前面的数,谁小就先取谁,取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较,直至一个数组为空,最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

    (1)代码

    def merge_sort(alist):
        # 递归终止条件
        n = len(alist)
        if n<=1:
            return alist
        mid = n//2
        left = merge_sort(alist[:mid])
        right = merge_sort(alist[mid:])
        # 定义两个指针,分别初始化指向左右两个列表的首个元素
        l, r = 0, 0
        # 初始化返回结果
        result = []
        while l <len(left) and r<len(right):
            if left[l] <= right[r]:
                result.append(left[l])
                l += 1
            else:
                result.append(right[r])
                r += 1
        result += left[l:]
        result += right[r:]
        return result
                
    alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
    sorted_alist = merge_sort(alist)
    print(sorted_alist)       
    
    [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    

    (2)时间复杂度

    分析思路:
    跟快排类似
    (1) 首先,每一层都分组进行合并排序,数组的元素都会在每次循环中走访过一次,因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
    (2)然后,每一层都是二分数组,n/(2^x) =1,x=logn,因此一共有logn层
    因此,总的时间复杂度为:

    • 最优时间复杂度:O(nlogn)
    • 最坏时间复杂度:O(nlogn)
    • 稳定性:稳定

    注意:虽然归并排序的时间复杂度较低,但是算法会返回一个新的列表,需要额外的内存开销,因此所占用的内存会高一些。

    7. 常见排序算法效率比较

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