怎样用指定的随机数生成函数来实现新的随机数生成函数

阿里巴巴笔试题：假设函数rand_k会随机返回一个【1，k】之间的随机数（k>=2）,并且每个整数出现的概率相等。目前有 rand_7,通过调用rand_7（）和四则运算符，并适当增加逻辑判断和循环控制逻辑，下列函数可以实现的有：ABCD

A:rand_5 B:rand_21 C:rand_23 D:rand_49

解析：先考虑如何用rand_7()实现rand_5()：

    一个非常直观的想法就是不断地调用rand7，直到它产生1到5之间的数，然后返回。 代码如下：

int Rand5()
{
    int x;
    
    do
   {
        x = Rand7();
   }
    while(x > 5)
        
    return x;
}

　　

    这个函数可以等概率地产生1到5的数吗？来计算一下它产生1的概率是不是1/5：

    我们要的1可能是第一次调用Rand7时产生，也可能是第二次，第三次，…第n次。 第1次就生成1，概率是1/7；第2次生成1，说明第1次没生成1到5间的数而生成了6，7， 所以概率是(2/7)*(1/7)，依次类推。生成1的概率计算如下：

P(x=1)=1/7 + (2/7) * 1/7 + (2/7)^2 * 1/7 + (2/7)^3 * 1/7 + ...
      =1/7 * (1 + 2/7 + (2/7)^2 + ...) // 等比数列
      =1/7 * 1 / (1 - 2/7)
      =1/7 * 7/5
      =1/5

    上述计算说明Rand5是等概率地生成1,2,3,4,5的(1/5的概率)。从上面的分析中， 我们可以得到一个一般的结论，如果a > b，那么一定可以用Rand_a去实现Rand_b。其中， Rand_a表示等概率生成1到a的函数，Rand_b表示等概率生成1到b的函数。代码如下：

int Rand_b()
{
    int x;
    
    do
   {
        x = Rand_a();
   }
    while(x > b)
        
    return x;
}

　　

    那么如果a<b呢？譬如现在要用Rand5()来实现Rand7()，只要我们将Rand5() 映射到一个能产生更大随机数的Rand_a，其中a > 7，就可以套用上面的模板了。 这里要注意一点的是，你映射后的Rand_a一定要满足是等概率地生成从1到a的整数的。比如，

Rand5() + Rand5() - 1

    上述代码可以生成1到9的数，但它们是等概率生成的吗？不是。生成1只有一种组合： 两个Rand5()都生成1时：(1, 1)；而生成2有两种：(1, 2)和(2, 1)；生成6更多。 它们的生成是不等概率的。那要怎样找到一个等概率生成数的组合呢？

    我们先给出一个组合，再来进行分析。组合如下：

5 * (Rand5() - 1) + Rand5()

    Rand5()产生1到5的数，减1就产生0到4的数，乘以5后可以产生的数是：0,5,10,15,20。 再加上第二个Rand5()产生的1,2,3,4,5。我们可以得到1到25， 而且每个数都只由一种组合得到，即上述代码可以等概率地生成1到25（可以将其视作一个5进制的两位数）。

套用上面的模板，我们可以得到如下代码：

int Rand7()
{
    int x;
    
    do
   {
        x = 5 * (Rand5() - 1) +  Rand5();
   }
    while(x > 5)
        
    return x;
}

　　上面的代码有什么问题吗？可能while循环要进行很多次才能返回。 因为Rand25()会产生1到25的数，而只有1到7时才跳出while循环， 生成大部分的数都舍弃掉了。这样的实现明显不好。我们应该让舍弃的数尽量少， 于是我们可以修改while中的判断条件，让x与最接近25且小于25的7的倍数相比。 于是判断条件可改为x > 21，于是x的取值就是1到21。 我们再通过取模运算把它映射到1-7即可。代码如下：

int Rand7()
{
    int x;
    
    do
   {
        x = 5 * (Rand5() - 1) +  Rand5();
   }
    while(x > 21)
        
    return x%7 + 1;
}

　

    让我们把这个问题泛化一下，从特殊到一般。有两个生成随机数的函数Rand_a， Rand_b。Rand_a和Rand_b分别产生从1到a的随机数和从1到b的随机数，a，b不相等。现在让你用Rand_a实现Rand_b。

通过上文分析，我们可以得到步骤如下：

1. 如果a > b，进入步骤2；否则构造Rand_a² = a * (Rand_a – 1) + Rand_a， 表示生成从1到a² 随机数的函数。如果a² 仍小于b，继教构造 Rand_a³ = a * (Rand_a² – 1) + Rand_a…直到a^k > b，这时我们得到Rand_a^k , 我们记为RandA。

2. 步骤1中我们得到了RandA(可能是Rand_a或Rand_a^k )，其中A > b， 我们用下述代码构造Randb：

// A > b
int Rand_b(){
    int x; 
    
   do
   {
        x = RandA();
   }
    while(x > b*(A/b)) // b*(A/b)表示最接近A且小于A的b的倍数
        
    return x%b + 1;
}

　　

从上面一系列的分析可以发现，如果给你两个生成随机数的函数Randa和Randb， 你可以通过以下方式轻松构造Rand_ab，生成1到a*b的随机数。

Rand_ab = b * (Rand_a - 1) + Rand_b
Rand_ab = a * (Rand_b - 1) + Rand_a