AcWing 206. 石头游戏 矩阵乘法|矩阵快速幂

AcWing 206. 石头游戏

石头游戏在一个 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的网格上进行，每个格子对应一种操作序列，操作序列至多有10种，分别用0~9这10个数字指明。

操作序列是一个长度不超过6且循环执行、每秒执行一个字符的字符串。

每秒钟，所有格子同时执行各自操作序列里的下一个字符。

序列中的每个字符是以下格式之一：

1、数字0~9：表示拿0~9个石头到该格子。
2、NWSE：表示把这个格子内所有的石头推到相邻的格子，N表示上方，W表示左方，S表示下方，E表示右方。
3、D：表示拿走这个格子的所有石头。

给定每种操作序列对应的字符串，以及网格中每个格子对应的操作序列，求石头游戏进行了 t 秒之后，石头最多的格子里有多少个石头。

在游戏开始时，网格是空的。

输入格式

第一行4个整数n, m, t, act。

接下来n行，每行m个字符，表示每个格子对应的操作序列。

最后act行，每行一个字符串，表示从0开始的每个操作序列。

输出格式

一个整数：游戏进行了t秒之后，所有方格中石头最多的格子有多少个石头。

输入样例：

1 6 10 3
011112
1E
E
0

输出样例：

3

样例解释

样例中给出了三组操作序列，第一个格子执行编号为0的操作序列”1E”,第二至五个格子执行编号为1的操作序列”E”,第六个格子执行编号为2的操作序列”0”。

这是另一个类似于传送带的结构，左边的设备0间隔地产生石头并向东传送。

设备1向右传送，直到设备2。

10秒后，总共产生了5个石头，2个在传送带上，3个在最右边。

题解：我们可以把网格看成一维向量，下标从1开始，num(i,j) = (i-1)*m+j;

　　　我们可以定义一个状态矩阵f，下标从0~n*m，其中f[num(i,j)]记录格子(i,j)中石头个数。

　　    操作序列长度不超过6，1~6的最小公倍数为60，所以经过60s后所有序列都会处于重新开始的位置。每60s一个循环，我们只需记录第一个60s。

　　　对于1~60之间的每一秒k，所有格子操作可以构成一个状态矩阵，矩阵行列下标都是0~n*m，构造方法如下：

1. 若网格(i,j)第k秒的操作字符为“N”，且i>1，则令Ak[num(i,j),num(i-1,j)] = 1，表示把石子推到上面的格子里。“W”、“S”、“E”类似。
2. 若网格(i,j)第k秒的操作字符为数字x，则令Ak[0,num(i,j)] = x,Ak[num(i,j),num(i,j)] = 1。
3. 令Ak[0,0] = 1。 （保证f[0]始终为1）
4. 其他部分赋值为0。

　　　最后求出f中的最大值。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 70
#define mod 1000000007
#define ll long long 
int n,m,t,act;
struct Matrix
{
    long long ma[maxn][maxn];
    Matrix() {
        memset(ma,0, sizeof(ma));
    }
}f,e[maxn],d;
Matrix mul(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix C;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<maxn;j++)
            for(int k=0;k<maxn;k++)
                C.ma[i][j] += (A.ma[i][k]*B.ma[k][j]);
    return C;
}
Matrix cel(Matrix A,Matrix B) {
    ll w[70]={0};
    for(int j=0;j<=n*m;j++)
        for(int k=0;k<=n*m;k++)
            w[j]+=A.ma[1][k]*B.ma[k][j];
    memcpy(A.ma[1],w,sizeof(w));
    return A;
}
Matrix pow_mod(Matrix A,long long t)
{
    Matrix B = d;
    while(t) {
        if(t&1) A = cel(A,B);  //可直接mul(f,e[i]);
        B=mul(B,B);
        t>>=1;
    }
    return A;
}
char s[10][10],cz[maxn][10];
int len[maxn];
int num(int i,int j) {return (i-1)*m+j;}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&t,&act);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for (int i = 0; i < act; i++) scanf("%s",cz[i]),len[i] = strlen(cz[i]);
    for (int k = 1; k <= 60; k++) {
        e[k].ma[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int x = s[i][j] - '0', y = (k-1)%len[x];
                if (cz[x][y] >= '0' && cz[x][y] <= '9') {
                    e[k].ma[0][num(i,j)] = cz[x][y]-'0';
                    e[k].ma[num(i,j)][num(i,j)] = 1;
                } else if (cz[x][y] == 'N' && i-1>0) e[k].ma[num(i,j)][num(i-1,j)] = 1;
                else if (cz[x][y] == 'W' && j-1>0) e[k].ma[num(i,j)][num(i,j-1)] = 1;
                else if (cz[x][y] == 'S' && i+1<=n) e[k].ma[num(i,j)][num(i+1,j)] = 1;
                else if (cz[x][y] == 'E' && j+1<=m) e[k].ma[num(i,j)][num(i,j+1)] = 1;
            }
        }
        if (k == 1) d = e[1];
        else d = mul(d,e[k]);
    }
    ll ans = 0;
    f.ma[1][0] = 1;
    f = pow_mod(f,t/60);
    int z = t%60;
    for (int i = 1; i <= z; i++) f = cel(f,e[i]);  //可直接mul(f,e[i]);
    for (int i = 0; i <= n*m; i++) ans = max(ans,f.ma[1][i]);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}