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Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里步介绍并查集，只介绍Kruskal算法的基本思想和证明，实现留在以后讨论。
Kruskal算法的过程：
（1） 将全部边按照权值由小到大排序
（2） 按顺序（边权由小到大的顺序）考虑每条边，只要这条边和我们已经选择的边不构成圈，就保留这条边，否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后，形成一个棵最小生成树，当然如果算法无法选择出(n-1)条边，则说明原图不连通。
以下图为例：
边排序后为：
1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33
算法处理过程如下：
处理边AF，点A与点F不在同一个集合里，选中AF。
处理边DE，点D与点E不在同一个集合里，选中DE
处理边BD，点B与点D不在同一个集合里，选中BD
处理边BC，点B与点C不在同一个集合里，选中BC
处理边BF，点B与点F不在同一个集合里，选中BF。
至此，所有的点都连在了一起，剩下的边DF，AE，AB，EF不用继续处理了，算法执行结束。
Kruskal算法的证明。假设图连通，我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树，并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中，而不在T中最小权值的边e。
把e加入T中，则形成一个圈，删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性，如果全里面所有的边都在K中，则K包含圈，矛盾。
考虑边权值关系：
（1） 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和，与T是最小生成树矛盾。
（2） 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f，之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈，之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的)，所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义，K中权值小于w(e)的边都在T中，这说明T中的边会和f构成圈，矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树，而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后，最终可以把T变为K，从而K也是最小生成树。
示例：
输入
第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
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代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=50005;
int n,m,index=1;
int pre[maxn];
LL ans=0;
struct node{
int x,y,w;
}edge[maxn];
bool cmp(node a,node b){
return a.w<b.w;
}
void init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=i;
}
}
int find(int x){
int r=x;
while(pre[r]!=r)
r=pre[r];
int i=x,j;
while(pre[i]!=r){
j=pre[i];
pre[i]=r;
i=j;
}
return r;
}
void unite(int x,int y){
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if(fx!=fy){
pre[fx]=fy;
}
}
void Kruskal(){
init();
int i,j;
for(i=1;i<=m;i++){
int x=edge[i].x;
int y=edge[i].y;
if(find(x)!=find(y)){
unite(x,y);
ans+=edge[i].w;
}
}
}
int main(){
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w);
}
sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
Kruskal();
printf("%lld
",ans);
return 0;
}