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Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里步介绍并查集,只介绍Kruskal算法的基本思想和证明,实现留在以后讨论。
Kruskal算法的过程:
(1) 将全部边按照权值由小到大排序
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则说明原图不连通。
以下图为例:
边排序后为:
1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33
算法处理过程如下:
处理边AF,点A与点F不在同一个集合里,选中AF。
处理边DE,点D与点E不在同一个集合里,选中DE
处理边BD,点B与点D不在同一个集合里,选中BD
处理边BC,点B与点C不在同一个集合里,选中BC
处理边BF,点B与点F不在同一个集合里,选中BF。
至此,所有的点都连在了一起,剩下的边DF,AE,AB,EF不用继续处理了,算法执行结束。
Kruskal算法的证明。假设图连通,我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树,并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中,而不在T中最小权值的边e。
把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。
考虑边权值关系:
(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。
示例:
输入
第1行:2个数N,M中间用空格分隔,N为点的数量,M为边的数量。(2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行:每行3个数S E W,分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N,1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
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代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define LL long long using namespace std; const int maxn=50005; int n,m,index=1; int pre[maxn]; LL ans=0; struct node{ int x,y,w; }edge[maxn]; bool cmp(node a,node b){ return a.w<b.w; } void init(){ for(int i=1;i<=n;i++){ pre[i]=i; } } int find(int x){ int r=x; while(pre[r]!=r) r=pre[r]; int i=x,j; while(pre[i]!=r){ j=pre[i]; pre[i]=r; i=j; } return r; } void unite(int x,int y){ int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx!=fy){ pre[fx]=fy; } } void Kruskal(){ init(); int i,j; for(i=1;i<=m;i++){ int x=edge[i].x; int y=edge[i].y; if(find(x)!=find(y)){ unite(x,y); ans+=edge[i].w; } } } int main(){ int i,j; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w); } sort(edge+1,edge+m+1,cmp); Kruskal(); printf("%lld ",ans); return 0; }