用分治法实现大数乘法，加法，减法（java实现）

　　大数乘法即多项式乘法问题，求A(x)与B(x)的乘积C(x)，朴素解法的复杂度O(n^2)，基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成

A(x)=a*x^m+b
B(x)=c*x^m+d

其中a,b,c,d为x的多项式。
则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd
由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd
原来的4次乘法和1次加法由3次乘法和2次减法代替，减少了一次乘法操作。
用同样的方法应用到abcd的乘法上。

（以上内容摘自互联网）

以下为用java实现的代码：

package com.kyy.sf;

public class BigInteger {

    public BigInteger() {

    }

    // 基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成
    // A(x)=a*x^m+b
    // B(x)=c*x^m+d
    // 其中a,b,c,d为x的多项式。
    // 则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd
    // 由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd
    // 字符串模拟乘法操作
    
    public static String mut(String x, String y) {
        // deep++;// Console.WriteLine("-" + deep + "-");
        String negative = "";
        // x,y同为正或者同为负
        if ((x.startsWith("-") && y.startsWith("-"))
                || (!x.startsWith("-") && !y.startsWith("-"))) {
            x = x.replaceAll("-", "");
            y = y.replaceAll("-", "");
            negative = "";
        }// x,y一正一负
        else if ((x.startsWith("-") && !y.startsWith("-"))
                || (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-"))) {
            x = x.replace("-", "");
            y = y.replace("-", "");
            negative = "-";
        }

        // 如果长度都等于于9，直接相乘，返回就行了。
        if (x.length() == 1 && y.length() == 1) {
            // 计算乘积
            int tmp = (Integer.parseInt(x) * Integer.parseInt(y));

            if (tmp == 0) {
                return tmp + "";
            } else {
                return negative + tmp;
            }
        }

        // 公式里的abcd
        String a, b, c, d;
        if (x.length() == 1) {
            a = "0";
            b = x;
        } else {
            if (x.length() % 2 != 0) {
                x = "0" + x;
            }
            a = x.substring(0, x.length() / 2);
            b = x.substring(x.length() / 2);
        }
        if (y.length() == 1) {
            c = "0";
            d = y;
        } else {
            if (y.length() % 2 != 0) {
                y = "0" + y;
            }
            c = y.substring(0, y.length() / 2);
            d = y.substring(y.length() / 2);
        }
        // 按最大位数取值，以确定补零数目
        int n = x.length() >= y.length() ? x.length() : y.length();

        String t1, t2, t3;
        // 递归调用，根据公式计算出值。
        String ac = mut(a, c);
        String bd = mut(b, d);
        t1 = mut(sub(a, b), sub(d, c));
        t2 = add(add(t1, ac), bd);
        t3 = add(add(Power10(ac, n), Power10(t2, n / 2)), bd).replaceAll("^0+",
                "");

        if (t3 == "")
            return "0";
        return negative + t3;
    }

    private static String add(String x, String y) {

        if (x.startsWith("-") && !y.startsWith("-")) {
            return sub(y, x.replaceAll("^-", ""));
        } else if (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) {
            return sub(x, y.replaceAll("^-", ""));
        } else if (x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) {
            return "-" + add(x.replaceAll("^-", ""), y.replaceAll("^-", ""));
        }

        if (x.length() > y.length()) {
            y = format(y, x.length(), "0");
        } else {
            x = format(x, y.length(), "0");
        }
        int[] sum = new int[x.length() + 1];

        for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) {
            int tmpsum = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "")
                    + Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + sum[i + 1];
            if (tmpsum >= 10) {
                sum[i + 1] = tmpsum - 10;
                sum[i] = 1;// 表示进位
            } else {
                sum[i + 1] = tmpsum;
            }
        }

        StringBuilder returnvalue = new StringBuilder();

        for (int i : sum) {
            returnvalue.append(i);
        }

        if (sum[0] == 1) {

            return returnvalue.toString();

        } else {
            return returnvalue.replace(0, 1, "").toString();
        }

    }

    // 字符串模拟减法操作
    private static String sub(String x, String y) {

        // x是正数，y也是正数
        int flag = checkBigger(x, y);

        if (flag == 0) {
            return "0";
        } else if (flag == -1) {
            String tmp = y;
            y = x;
            x = tmp;
        }
        // 保证了x>=y
        y = format(y, x.length(), "0");// y补0与x对齐

        int[] difference = new int[x.length()];

        for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) {

            int tmpdifference;

            tmpdifference = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "")
                    - Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + difference[i];

            if (tmpdifference < 0) {

                tmpdifference += 10;
                difference[i - 1] = -1;// 表示进位
            }

            difference[i] = tmpdifference;
        }

        StringBuilder returnvalue = new StringBuilder();

        for (int i : difference) {
            returnvalue.append(i);
        }

        String rv = returnvalue.toString().replaceAll("^0+", "");

        if ("".equals(rv)) {
            return "0";
        }

        if (flag == -1) {
            rv = "-" + rv;
        }

        return rv;
    }

    // 比较大小
    private static int checkBigger(String x, String y) {

        if (x.length() > y.length()) {

            return 1;

        } else if (x.length() < y.length()) {

            return -1;

        } else {

            for (int i = 0; i < x.length(); i++) {

                if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) {

                    return 1;

                } else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) {
                    return -1;
                }
            }

            return 0;
        }
    }

    //数据前补零
    private static String format(String str, int len, String fu) {

        len = len - str.length();

        for (int i = 0; i < len; i++) {

            str = fu + str;
        }

        return str;

    }

    // 模拟移位
    public static String Power10(String num, int n) {

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            
            num += "0";
        
        }

        return num;
    }

    public static void main(String[] args) {

        String x = "93859048059849086850986804750894758903278473894578397598475984784857487584758094875890475984955624146039530798877974";
        String y = "224343444859408590475847538946";
        System.out.println(mut(x, y));
        
        System.out.println(mut("1111111111", "1111111111"));

    }
}