数论代码整理

数论模板

目录

• 数论模板
  • 一、公约数、公倍数
    • GCD
    • LCM
    • 拓展欧几里得
  • 二、筛素数
    • 埃拉托色尼筛法
    • 线性筛
    • 在$O(nlogn)$时间内筛除n以内所有数的素因子
  • 三、求欧拉$φ$函数
    • 埃拉托色尼筛法
    • 欧拉筛
  • 四、求逆元
    • 单个数求逆元
    • 快速幂求逆元
    • 线性筛逆元
  • 快速幂
    • 快速幂
    • 取膜快速幂
  • 组合数

此处均为代码，学习出门右转

一、公约数、公倍数

GCD

int gcd(int x,int y){
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}

LCM

int lcm(int x,int y){
    return x/gcd(x,y)*y;
}

拓展欧几里得

int x,y;
int ex_gcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;return a;
    }
    int temp=ex_gcd(b,a%b);
    x=y,y=temp-a/b*y;
    return temp;
}

二、筛素数

埃拉托色尼筛法

int cnt,prime[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
    not_pr[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i)
        if(!not_pr[i]){
            prime[++cnt]=i;
            for(int j=i*i;j<=x;j+=i) not_pr[j]=1;
        }
}

线性筛

int cnt,prime[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
    not_pr[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i){
        if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
            not_pr[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

在(O(nlogn))时间内筛除n以内所有数的素因子

int cnt,prime[maxn],pre[maxn];
bool not_pr[maxn];
void Get_Prime(int x){
	not_pr[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i){
        if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt;++j){
            if(i*prime[j]>x) break;
            not_pr[i*prime[j]]=1,pre[i*prime[j]]=j;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
void Get_Ans(int x){
    for(int i=1;i<=x;++i){
        printf("%d:",i);
        int di=i;
        while(di!=1) printf("%d",prime[pre[di]]),di/=prime[pre[di]];
    }
}

三、求欧拉(φ)函数

埃拉托色尼筛法

int cnt,prime[maxn],phi[maxn];
bool not_pr[maxn];
void euler(int x){
    for(int i=1;i<=x;++i) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=x;++i)
        if(!not_pr[i]){
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=i*i;j<=x;++j){
                not_pr[j]=1,phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
         }
     }
}

欧拉筛

int cnt,prime[maxn],phi[maxn];
bool not_pr[maxn];
void euler(int x){
    phi[1]=1,not_pr[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i){
        if(!not_pr[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt;++j){
            if(i*prime[j]>x) break;
            not_pr[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j])) phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

四、求逆元

单个数求逆元

int x,y;
int ex_gcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;return a;
    }
    int temp=gcd(b,a%b);
    x=y,y=temp-a/b*y;
    return temp;
}
int cal(int a,int m){//ax%m==1,求最小的x
    int Gcd=gcd(a,m);
    if(1%Gcd!=0) return -1;
    x*=1/Gcd,m=abs(m);
    int ans=x%m;
    if(ans<=0) ans+=m;
    return ans;
}

快速幂求逆元

若(p)为质数，(a^{(p-1)}~ mod ~p=1,a)的逆元为(a^{(p-2)})；若(p)不是质数，(a^{phi[p]} ~mod ~p=1)，(a)的逆元为(a^{phi[p]-1})。

线性筛逆元

int inv[maxn];
void Get_inv(int x){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

快速幂

快速幂

int qpow(int x,int k){
    int a=1;
    while(k){
        if(k&1) a*=x;
        x*=x;
        k>>=1;
    }
    return a;
}

取膜快速幂

int powmod(int a,int k,int p){
    long long a=1;
    while(k){
        if(b&1) a=1ll*a*x%p;
        x=1ll*x*x%p;
        k>>=1;
    }
    return a;
}

组合数

void init_C(){
    for(int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        	for(int j=1;j<=i;++j)
                	c[i][j]+=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
}

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