假面舞会 题解

题目描述

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。

今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

输入格式

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。

接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

输出格式

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。

如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

样例输1

6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5

样例输出1

4 4

样例输入2

3 3
1 2
2 1
2 3

样例输出2

-1 -1

数据范围与提示

50%的数据，满足n ≤ 300, m ≤ 1000；
100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

分析

根据题目的意思：

1. 如果有多个点指向同一个点，那么他们属于同一类别。
2. 同一个点看到的所有点是一个种类。

按照上面的结论，我们可以把同类别的所有的点缩成一个点，这样对于一个连通块（不一定是强联通），就可以变成若干环和若干链的形式。

• 对于链来说，种类数为多少都是可以满足的；
• 对于环来说，如果只有一个环（假设点的个数不小于3），那么环的大小即为最大可能的种类数，同时，环的大小的所有的约数也可以是种类数；那么对于多个环的情况，最大种类数就只能是所有环大小的最大公约数，同时小于最大公约的所有的约数也是可能的种类数。如果没有环，那么最大种类数就是所有链的长度之和。

因此，最终的答案为：

• 最大值：如果有环，就是所有环中点的个数的最大公约数；如果无环，就是所有链的长度之和
• 最小值：如果有环，答案为不小于3的，同时是所有环中点的个数的最小的约数；如过无环，答案为3

为了找环和链，我们可以针对每个关系建立一条正向边和反向边，权值分别用1和-1来表示，从某一起点出发记录到达任意一点的权值（路径上的边权和），根据权值来求解环的大小和链的长度，具体看代码注释

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(head, -1, sizeof(head));
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		// 正向反向各加一条边
		addedge(x, y, 1);
		addedge(y, x, -1);
	}
	// 先用DFS找环求解
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!vis[i]) DFS(i);
	}
	// 找环结束，根据得到的最大公约数判断
	if (ans) { // ans初始为0，如果之前没找到环，ans仍会为0
		if (ans < 3) printf("-1 -1
"); // 最大公约数小于3，不成立
		else { // 这就成立了，再找最小的答案，即最小的约数
			int x;
			for (x = 3; x <= ans; x++) if (ans % x == 0) break;
			printf("%d %d
", ans, x);
		}
		return 0;
	}

	// 找环失败了，找链
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!vis[i]) {
			mx = mn = d[i] = 0; // 起点初始化好就可以了
			dfs(i);
			ans += mx - mn + 1; // 找到一条链中最大距离和最小距离，做差即为链长
		}
	}
	if (ans >= 3) printf("%d %d
", ans, 3);
	else printf("-1 -1
");
	return 0;
}

// 再来看看两个dfs
// 第一个处理环
void DFS(int now) {
	vis[now] = 1;
	for (int i = head[now]; ~i; i = e[i].next) {
		int to = e[i].to;
		if (!vis[to]) {
			d[to] = d[now] + e[i].w; // 更新起点到to的距离
			DFS(to);
		}
		else {
			// 通过正向边或者反向边找到一个环，求gcd更新答案
			ans = gcd(ans, abs(d[now] + e[i].w - d[to]));
		}
	}
}

// 第二个处理链
void dfs(int now) {
	// 更新链中最大和最小权值
	mx = max(mx, d[now]);
	mn = min(mn, d[now]);
	vis[now] = 1;
	for (int i = head[now]; ~i; i = e[i].next) {
		if (!flag[i]) { // 如果此边没走过，则双向都标记，让它一路走到黑，防止往回走
			flag[i] = flag[i ^ 1] = 1;
			int to = e[i].to;
			d[to] = d[now] + e[i].w;
			dfs(to);
		}
	}
}