一题的双坐标系解法

Problem

如图所示，四边形 (ABCD) 是直角梯形，(ADparallel BC)，(ADot CD)，(angle ABC=frac{pi}{3})，(BC=2AD=2)，(PC=3)，( riangle PAB) 为等边三角形. 求证 (ABot PC).

Solution

这题显然有很简单的方法，但是我从学空间向量开始就想尝试两个坐标系一起用，终于找到一题。

图中 (F) 就是 (P_2)，为了把所有元素画出来，生成图的时候视角有点奇怪。

做 (APot BC) 于点 (P_2)，(PQot AB) 于点 (Q)。

这里 (P_2) 原来是 (P) 但是忘了原图已经有个 (P) 点了这样加下标比较顺手就加上了。

(ecause APparallel BC, ADot CD, AP_2ot BC)
( herefore angle APC=angle ADC=frac{pi}{2}, AP_2parallel DC, ADparallel PC)
( herefore) 四边形 (ADP_2C) 为矩形
( herefore AD=P_2C=1)
又 (ecause BC=BP_2+CP_2)
( herefore BP_2=1)
又 (ecause angle ABC=frac{pi}{3})
( herefore AB=2, AP_2=sqrt{3})
又 (ecause riangle PAB) 是等边三角形，(PQot AB)
( herefore PQ=sqrt{3})
连接 (QC)，以 (C) 为原点，(CD) 为 (x) 轴正方向建立平面直角坐标系 (xCy)
在 (xCy) 中有：
(A(-1,sqrt{3}),B(-2,0),C(0,0),D(0,sqrt{3}),Q(frac{-1-2}{2},frac{sqrt{3}}{2})=(-frac{3}{2},frac{sqrt{3}}{2}))
则 (BC=2, BQ=1, QC=sqrt{{(-frac{3}{2})}^2+{(-frac{sqrt{3}}{2})}^2}=sqrt{3})
(ecause BC^2=BQ^2+QC^2)，由勾股定理逆定理得 (angle BQC=frac{pi}{2})
( herefore BQot QC)
又 (ecause PQot BA)
( herefore) 以 (Q)为原点，(QB)为 (x) 轴正方向，(QC) 为 (y) 轴正方向建立空间直角坐标系 (xQyz)
在 (xQyz) 中有：
(C(0,sqrt{3},0),P(0,0,sqrt{3}),B(1,0,0),A(-1,0,0))
( herefore vec{PC}=(0,sqrt{3},0),vec{AB}=(2,0,0))
( herefore vec{PC}cdot vec{AB}=0)
( herefore PCot AB)