• 【poj 2891】Strange Way to Express Integers(数论--拓展欧几里德 求解同余方程组 模版题)


    题意:Elina看一本刘汝佳的书(O_O*),里面介绍了一种奇怪的方法表示一个非负整数 m 。也就是有 k 对 ( ai , ri ) 可以这样表示——m%ai=ri。问 m 的最小值。

    解法:拓展欧几里德求解同余方程组的最小非负整数解。(感觉挺不容易的......+_+@)

            先看前2个关系式:                       m%a1=r1 和 m%a2=r2 
                                                                m-a1*x=r1 和 m-a2*y=r2 →
                                                                m=a1*x+r1 和 m=a2*y+r2
                                                                a1*x-a2*y=r2-r1
           于是用拓展欧几里德求得一个满足这2个关系式/方程联立的最小非负整数解 (x',y')。
      那么存在一个:                                  m'-a1*x'=r1 和 m'-a2*y'=r2 
                                                                m'=a1*x'+r1=a2*y'+r2
                                                                m' %a1=m%a1 和 m' %a2=m%a2 
                                                                m' %lcm(a1,a2)=m%lcm(a1,a2)
                                                                m=m'+k*lcm(a1,a2)
                                                                m=(a1*x'+r1)+lcm(a1,a2)*k
                                                                m=      r'       +         a'    *x
                                                               
    ......
                                                               
    m=ak*y'+rk+lcm(ak-1,ak)*k
                                                      而又   m=ak*y'+rk , r'=ak*y'+rk
                                                      所以   m=r'
           接着继续将这个式子与  m=a3*y+r3 联立,同样地得到一个新的方程,再一直继续联立下去,由于 x 保证了尽量下,最后的 r' 就是尽量小的答案。

     1 #include<cstdio>
     2 #include<cstdlib>
     3 #include<cstring>
     4 #include<iostream>
     5 using namespace std;
     6 typedef long long LL;
     7 
     8 LL mabs(LL x) {return x>0?x:-x;}
     9 LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
    10 {
    11     if (!b) {x=1,y=0; return a;}
    12     LL d,tx,ty;
    13     d=exgcd(b,a%b,tx,ty);
    14     x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
    15     return d;
    16 }
    17 int main()
    18 {
    19     LL k;
    20     while (scanf("%I64d",&k)!=EOF)
    21     {
    22       LL aa,rr,a,r; bool ok=false;
    23       for (LL i=1;i<=k;i++)
    24       {
    25         scanf("%I64d%I64d",&aa,&rr);
    26         if (ok) continue;
    27         if (i==1) a=aa,r=rr;
    28         else
    29         {//求解同余方程
    30           LL d,x,y,t;
    31           d=exgcd(a,aa,x,y);//ax-aay=rr-r 有无正负号没有关系
    32           if ((rr-r)%d!=0) {ok=true;continue;}//break;} 多组数据要读入完!
    33           x=x*((rr-r)/d);//1个解
    34           t=mabs(aa/d);//mabs
    35           x=(x%t+t)%t;//最小非负整数解
    36           
    37           r=a*x+r,a=a*aa/d;//a=lcm(a,aa)=a*aa/gcd(a,aa)=a*aa/d;
    38         }
    39       }
    40       if (!ok) printf("%I64d
    ",r);
    41       else printf("-1
    ");
    42     }
    43     return 0;
    44 }
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