Codeforces Round #649 (Div. 2) C、Ehab and Prefix MEXs D、Ehab's Last Corollary 找环和点染色

题目链接：C、Ehab and Prefix MEXs

题意;

有长度为n的数组a(下标从1开始),要求构造一个相同长度的数组b,使得b1,b2,....bi集合中没有出现过的最小的数是ai.

mex函数表示不在集合中的那个最小的自然数

例如：

mex(1,2,3)=0

mex(0,1,2)=3

mex(0,1,3)=2

对于题意你要保证

mex(b1)=a1

mex(b1,b2)=a2

mex(b1,b2,b3)=a3

题解：

首先这个题目肯定是有解的，无解的情况题目都给排除了。

给b数组初始值为n+1，对于ai的值，我们必须保证0——(ai-1) （这代表区间【0，(ai-1)】）这些值都在b1——bi（这代表b1,b2...bi）出现过了。那么我们取b1——bi 中最小的不是n+1的值为x（如果全是n+1，那么x=0），我们从bi向b1逆向枚举，每遇到一个n+1，那就给它赋值x，然后让x++。这样一直操作就没了

至于为什么要逆向操作，这是个贪心，因为小的值ai只会在前面出现（题目要求了ai<=a(i+1)），如果你把小的值放在前面会影响前面答案的正确性

代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
#include<string.h>
#include<map>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int v[maxn],w[maxn];
int main()
{

    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%d",&v[i]);
        w[i]=n+1;
    }
    int k=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=i; j>=1; --j)
        {
            if(k>=v[i]) break;
            if(w[j]==n+1)
            {
                w[j]=k++;
            }
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        if(i==n)
            printf("%d
",w[n]);
        else printf("%d ",w[i]);
    }

    return 0;
}

题目链接：D、Ehab's Last Corollary  参考链接：https://www.cnblogs.com/Last--Whisper/p/13143897.html#

题意：

给出一张 nn 个点的无向连通图和一个常数 kk。你需要解决以下任何一个问题中的一个:

• 找出一个大小为⌈k/2⌉的独立集。
• 找出一个大小不超过k的环。

一条边的长度算作1

独立集: 独立集是一个点的集合，满足其中任意两点之间在原图上没有边直接相连。

题解：

这道题也是肯定是有解的，如果它没有环，那么k/2个点的独立集肯定能找到

如果有环，环的长度小于k直接输出，如果大于k，因为它是最小的环，那么任意一个点只会与环中两个点相连才一起构成一个环。那么这个环绝对能找出来k/2个点独立集

我们可以先假设这个图没有环，那只需要随便找一个点开始染色。然后给与这个点相连的其他点染成另外一种颜色。这样不停的染色直到这个图的每一个点都被染色就可以了

如果后面我们确定了就是没有环，那就输出相同颜色的点就可以了

对于确定是否含有环，我们可以事先定义一个vector容器p用它来装已经dfs遍历过的点，并且如果一个点在这个p容器中那就把这个点在数组is_circle中标记一下。如果一个图里面包含环的话，如下图

 我们从1点开始进行dfs，我们可以看到1，2，3，5构成了一个环。我们进行模拟dfs，从1我们会dfs到2，然后从2我们dfs到5，从5我们dfs到3，从3我们dfs到1我们发现1这个点已经被标记过了。那就证明存在环

如果我们发现了环我们不管这个环是不是最小环（例如，如果多一条边2——3，那么1，2，3，5里面就包含一个小环1，2，3），直接让我们遇到那个标记过的点1到我们dfs到现在遇到的所有点都装入一个容器（也就是把1，2，5，3装入另一个容器）

我们这里说一下height数组，这个数组表示的是某一个点是第几深度遍历到的，对于序列1，2，5，3。height[1]=0,height[2]=1,height[5]=2，height[3]=3;

然后枚举每一条边，如果某条边的两个节点x和y的深度不一样且这两个点都在环中，那就证明这个环不是最小环(假设2——3这条边存在)，那么x和y就是2和3，那就从这个1，2，3，5的开头和结尾删除节点，直到遇见x或者y就截至

代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
#include<deque>
#include<string.h>
#include<map>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
struct shudui
{
    int x,y;
} edge[maxn];
int n,m,k,height[maxn],is_circle[maxn];
vector<int> w[maxn],p,colour[2];
deque<int> circle;
void dfs(int x,int fa)
{
    height[x]=p.size();
    p.push_back(x);
    colour[p.size()%2].push_back(x);
    for(int i=0; i<w[x].size(); ++i)
    {
        int to=w[x][i];
        if(to==fa) continue;
        if(height[to]==-1)
        {
            dfs(to,x);
        }
        else
        {
            if(circle.empty())
            {
                for(int i=height[to]; i<=height[x]; ++i)
                {
                    circle.push_back(p[i]);
                    is_circle[p[i]]=1;
                }
            }
        }
    }
    p.pop_back();
}
int main()
{
    memset(height,-1,sizeof(height));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0; i<m; ++i)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        edge[i].x=x;
        edge[i].y=y;
        w[x].push_back(y);
        w[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    if(circle.empty())
    {
        printf("1
");
        if(colour[0].size()<colour[1].size()) swap(colour[0],colour[1]);
        for(int i=0; i<(k+1)/2; ++i)
        {
            if(i==0) printf("%d",colour[0][i]);
            else printf(" %d",colour[0][i]);
        }
        printf("
");
        return 0;
    }

    for(int i=0; i<m; ++i)
    {
        int x=edge[i].x;
        int y=edge[i].y;
        if(is_circle[x] && is_circle[y] && abs(height[x]-height[y])>1)
        {
            while (circle.front() != x && circle.front() != y)
            {
                is_circle[circle.front()] = false;
                circle.pop_front();
            }
            while (circle.back() != x && circle.back() != y)
            {
                is_circle[circle.back()] = false;
                circle.pop_back();
            }
        }
    }

    if(circle.size()<=k)
    {
        printf("2
%d
",circle.size());
        for(int i=0;i<circle.size();++i)
        {
            if(i==0) printf("%d",circle[i]);
            else printf(" %d",circle[i]);
        }
        printf("
");
    }
    else
    {
        printf("1
");
        int sum=0;
        for(int i=0;i<circle.size();i+=2)
        {
            if(i==0) printf("%d",circle[i]);
            else printf(" %d",circle[i]);
            sum++;
            if(sum>=(k+1)/2) break;
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}