已知函数(f(x)=lnx-frac{x+1}{x-1})
((1)) 讨论(f(x))单调性，并证明(f(x))有且仅有两个零点
((2)) 设(x_0)是(f(x))的一个零点，证明曲线(g(x)=lnx)在点(A(x_0,lnx_0))处的切线也是曲线(h(x)=e^x)的切线
解：
((1))
[f'(x)=frac{1}{x}+frac{2}{(x-1)^2}
]
[f'(x)=frac{(x-1)^2+2x}{x(x-1)^2}
]
[f'(x)=frac{x^2+1}{x(x-1)^2}>0
]
(f(x))在定义域((0,1)∪(1,+∞))上单调增
当(xin (1,+∞))时
[f(e)=1-frac{e+1}{e-1}<0
]
[f(e^2)=1-frac{e^2+1}{e^2-1}=frac{e^2-3}{e^2-1}>0
]
所以(f(x))在((1,+∞))存在唯一零点(x_1,f(x_1)=0)
(0<frac{1}{x_1}<1)
[f(frac{1}{x_1})=-lnx_1+frac{x_1+1}{x_1-1}=-f(x_1)=0
]
所以在((0,1))也有唯一零点(frac{1}{x_1})
综上，(f(x))有且仅有两个零点
((2))
因为(frac{1}{x_0}=e^{-lnx_0})，所以(B(-lnx_0,frac{1}{x_0}))
[f(x_0)=0
]
[lnx_0=frac{x_0+1}{x_0-1}
]
可以得到(g(x))上(A(x_0,lnx_0))点处切线斜率为(g'(x_0)=frac{1}{x_0})
(h(x))上(B(-lnx_0,frac{1}{x_0}))点处切线斜率为(h'(frac{1}{x_0})=frac{1}{x_0})
设直线(AB)的斜率为(k)
[k=frac{frac{1}{x_0}-lnx_0}{-lnx_0-x_0}=frac{frac{1}{x_0}-frac{x_0+1}{x_0-1}}{-frac{x_0+1}{x_0-1}-x_0}=frac{1}{x_0}
]
所以(g(x_0))在(A)点处的切线也是(h(frac{1}{x_0}))在(B)点处的切线