二分图匹配学习笔记

二分图的定义：##

二分图的顶点可以被分为两个点集，且相同点集内的顶点之间没有连边

二分图的判定：##

dfs整个图并对其进行染色，且只能染两种颜色，若与其相邻的顶点与其同色则不是二分图，否则继续dfs。

代码：###

//-------------------二分图判定代码：---------------------------//
int dfs(int u){    //染色为1或2 
	int flag=0;		
	for(register int v=1;v<=n;v++)
		if(u!=v&&g[u][v]) {  //如果u和v之间有连边
			if(color[v]==0) { //如果v没有染色 
				color[v]=3-color[u];  //给v染色 
				flag=dfs(v);  //继续dfs 
				if(!flag)return 0;  //如果flag==0说明dfs的结果是非二分图 
			}
			else if(color[u]==color[v]) return 0;  //如果染了色且u和v同色则非二分图 
		}
	return 1;
}

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二分图的匹配：##

给定一个二分图G，M为G边集的一个子集且满足当中任意的两条边都依附于同一个顶点，则称M是G的一个匹配
在所有匹配中边数最多的称最大匹配
（简单来说就是在二分图里选一些边，让这些边没有公共顶点，从这个角度讲看起来有点像映射）

求二分图最大匹配：##

• 匈牙利算法
• 最大流

最大流就不介绍了因为笔者不会
这里主要介绍匈牙利算法

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匈牙利算法：##

匈牙利算法的核心是找增广路。
增广路（或增广轨、交错路）：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，且已匹配边和未匹配边在这条路径上交错出现，则称P是相对于当前匹配M的一条增广路

由增广路的定义，可以推出三个结论 ：

• 结论1：P的路径长度（P内的边数）必定为奇数
  证明：由于起点和终点都是未匹配点，所以第一条边和最后一条边一定都是未匹配边，而由定义可以知道匹配边和未匹配边在增广路上交错出现，所以P的路径长度一定为奇数，且未匹配边比匹配边数量多1
• 结论2：P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'
  *取反：未匹配边->匹配边，匹配边->未匹配边
  从结论1的证明知道未匹配边比匹配边数量证明多1，所以取反得到的匹配边数将比原匹配边数多1
• 结论3：M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路
  反证，如果有的话还可以扩大匹配边数，M就不是G的最大匹配了

所以根据以上三条结论设计出匈牙利算法的流程：

匈牙利算法流程：###

• STEP 1 对于一个没有匹配的顶点u，遍历其每条边，如果这条边上的另一个顶点v还未匹配则说明找到了一个匹配，转STEP 4
• STEP 2 若v已经被匹配，则寻找v的匹配点w，对于w，再遍历其边，找一个未匹配顶点（即反复STEP 1,2 以寻找增广路）
• STEP 3 若在STEP1,2的反复过程中找到一条增广路，修改各自的匹配点并转STEP 4，若未找到增广路则退出
• STEP 4 匹配数++

形象来讲匈牙利算法就是一个找妹子和绿与被绿的过程有机会就上，没机会把原配挤掉也要上，只要你能给原配牵个新妹子

代码：###

我搜了一下，网上流传的大多是邻接矩阵下的匈牙利算法，但邻接矩阵效率较低（尤其在稀疏图上），且空间复杂度较高，所以这里提供一种邻接表的匈牙利算法，其本质是一样的。

//-------------------------匈牙利算法：--------------------------//
int find(int u){
	for(register int i=first[u];i;i=nxt[i]) {
		int v=to[i];
		if(vis[v]) continue;
		else {
			vis[v]=true;
			if(match[v]==-1||find(match[v])) {        //如果v未被匹配或从v开始继续寻找找到了一条增广路 
				match[v]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int hungary(){
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		for(register int j=1;j<=n;j++)vis[j]=false;
		ans+=find(i);
	}
}

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