【积累】关于与或异或的一个积累

关于与或异或的积累

1，例题1

题意：

给 (n) 个操作： op a ，有 (3) 种：

• (op_i=1) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做与运算；
• (op_i=2) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做或运算；
• (op_i=3) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做异或运算。

要求将 (n) 个操作缩小成 小于等于 (5)个操作，使得对于任意 (x) ，进行这 (n) 个操作后的结果与 进行这 (m) 个操作的结果一致。

其中 (0leq a_ileq2^{20}-1) 。

解：

先分别算出 (x_i=0) 与 (x_i=1) 在这 (n) 个运算之后的结果。

对 (x) 设置 (3) 种运算，例如 ((x&a)^b)|c 或者 ((x&a)|b)^c 等等；

将二进制位的每一位独立开来看，然后对于 (x_i=0) 与 (x_i=1) 进行 (n) 种运算之后的结果，设置对应的运算数值。

例如 设置的运算时 ((x&a)^b)|c ，那么，

当 (x_i=0) 与 (x_i=1) 进行 (n) 种运算之后的结果分别是 (0) ， (0) ，可以设 (a_i=0) ，(b_i=0) ，(c_i=0) ;

当 (x_i=0) 与 (x_i=1) 进行 (n) 种运算之后的结果分别是 (0) ， (1) ，可以设 (a_i=1) ，(b_i=0) ，(c_i=0) ;

当 (x_i=0) 与 (x_i=1) 进行 (n) 种运算之后的结果分别是 (1) ， (0) ，可以设 (a_i=1) ， (b_i=1) ，(c_i=0) ;

当 (x_i=0) 与 (x_i=1) 进行 (n) 种运算之后的结果分别是 (1) ， (1) ，可以设 (c_i=1) ;

其余同理。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;

int a[22],b[22];
int main()
{
	for(int i=0;i<20;i++)a[i]=1;
	int n,op,x,t,c;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d%d",&op,&x);
		for(int i=0,c=0;i<20;i++,x>>=1,c++)
		{
			t=x&1;
			if(op==1)a[c]&=t,b[c]&=t;
			else if(op==2){
				a[c]|=t;b[c]|=t;
			}else{
				a[c]^=t;b[c]^=t;
			}
		}
	}
	x=0;int y=0,z=0;
	for(int i=0,t=1;i<20;i++,t<<=1)
	{
		if(a[i]==0&&b[i]==0);
		else if(a[i]==1&&b[i]==0)x|=t;
		else if(a[i]==0&&b[i]==1)x|=t,y|=t;
		else if(a[i]==1&&b[i]==1)z|=t;
	}
	printf("3
1 %d
3 %d
2 %d
",x,y,z);
}

2，例题2

题意：

给定 (n) 和 (m) ，(2le n le10^5,0le mle 10^9) ， $ x le m$

有 (n) 个操作 ：op a ， 有 (3) 种：

• (op_i=AND) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做与运算；
• (op_i=OR) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做或运算；
• (op_i=XOR) ，表示将 (x) 与 (a_i) 做异或运算。

询问最后可得到的最大值是多少。

解：

先分别算出 (x_i=0) 与 (x_i=1) 在这 (n) 个运算之后的结果。

答案要求最大，那么就是尽可能先让最终值的最高位为1：

当 (x_i=0)，而终值是 (1) 时 ，可以直接让答案 + (1<<i)，因为 (x_i=0) ，不会影响 (x) 与 (m) 的关系；

否则，如果 (x_i=1) ，而终值也是 1，且对于当前 (m) ， (mge (1<<i)) ，则让答案+ (1<<i) ，且让 (m-=1<<i) 。（贪心）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;

char s[5];
int main()
{
	int n,m,x=0x7fffffff,y=0,v;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s%d",s,&v);
		if(s[0]=='A')x&=v,y&=v;
		else if(s[0]=='O')x|=v,y|=v;
		else x^=v,y^=v;
	}
	int res=0;
	for(int i=30;i>=0;i--){
		if(y&(1<<i))res+=1<<i;
		else if(x&(1<<i)&&m>=(1<<i))m-=1<<i,res+=1<<i;
	}
	printf("%d
",res);
}