[51NOD1537] 分解（递推，矩阵快速幂）

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1537

思路：一开始用二项式拆了一下，发现这个式子的形式总能变成a+b*sqrt(2)的形式。然后就列了几个。

1+1*sqrt(2)

3+2*sqrt(2)

7+5*sqrt(2)

17+12*sqrt(2)

挺明显的：ai=ai-1+2*bi-1，bi=ai-1+bi-1。

转移的矩阵：

1 2

1 1

起初我是怀疑这个题是有bug的，因为输出的结果要取模，但是我的代码是求出了未平方的值，但是这个时候如果平方溢出了呢？再取模会不会有问题？不过仔细一想，平方后对1e9+7取模结果一定小于它，所以它们的相对位置是统一的。推算出结果，判断一发a和b的顺序就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = (LL)1e9+7;
const int maxn = 5;
LL n;

typedef struct Matrix {
  LL m[maxn][maxn];
  int r;
  int c;
  Matrix(){
    r = c = 0;
    memset(m, 0, sizeof(m));
  }
} Matrix;

Matrix mul(Matrix m1, Matrix m2) {
  Matrix ans = Matrix();
  ans.r = m1.r;
  ans.c = m2.c;
  for(int i = 1; i <= m1.r; i++) {
    for(int j = 1; j <= m2.r; j++) {
         for(int k = 1; k <= m2.c; k++) {
        if(m2.m[j][k] == 0) continue;
        ans.m[i][k] = ((ans.m[i][k] + m1.m[i][j] * m2.m[j][k] % mod) % mod) % mod;
      }
    }
  }
  return ans;
}

Matrix quickmul(Matrix m, LL n) {
  Matrix ans = Matrix();
  for(int i = 1; i <= m.r; i++) {
    ans.m[i][i]  = 1;
  }
  ans.r = m.r;
  ans.c = m.c;
  while(n) {
    if(n & 1) ans = mul(m, ans);
    m = mul(m, m);
    n >>= 1;
  }
  return ans;
}

int main() {
  //freopen("in", "r", stdin);
  while(~scanf("%lld", &n)) {
    Matrix p; p.c = 2; p.r = 2;
    p.m[1][1] = 1; p.m[1][2] = 2;
    p.m[2][1] = 1; p.m[2][2] = 1;
    Matrix q = quickmul(p, n);
    LL a = q.m[1][1], b = q.m[2][1];
    a = (a * a) % mod;
    b = (((b * b) % mod) * 2) % mod;
    if(a == b + 1) printf("%lld
", a);
    else if(a + 1 == b) printf("%lld
", b);
    else puts("no");
  }
  return 0;
}