[HDOJ5584]LCM Walk（数论，规律）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5584

给一个坐标(ex, ey)，问是由哪几个点走过来的。走的规则是x或者y加上他们的最小公倍数lcm(x, y)。

考虑(ex, ey)是由其他点走过来的，不妨设当走到(x,y)时候，gcd(x, y)=k，x=k*m1, y=k*m2。

下一步有可能是(x, y+x*y/gcd(x, y))或者是(x+x*y/gcd(x,y), y)。

用k和m1，m2来表示为(k*m1, k*m2+m1*m2*k)=(k*m1, k*m2*(m1+1))， 或(k*m1+m1*m2*k, k*m2)=(k*m1*(m2+1), k*m2)。

下面只关注(k*m1*(m2+1), k*m2)。m1和m2互质并且(m2+1)与m2也互质。

那么gcd(k*m1*(m2+1), k*m2)=k，即无论如何变化，它们的最大公因数都是k。这也证明了路径唯一，我们求的是可能的起点位置数，所以直接考虑每次都是x来加的情况（即y>x的时候，交换x,y）。我们可以从(ex, ey)上逆推回去。x'=k1*m1/(m2+1)，当x不是(y + k)的整数倍以后，即x/(k*(m2+1))不为0结束。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <complex>
#include <fstream>
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#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>

using namespace std;

int ex, ey;

int main() {
    // freopen("in", "r", stdin);
    int T, _ = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d %d", &ex, &ey);
        int k = __gcd(ex, ey);
        if(ex < ey) swap(ex, ey);
        int ans = 1;
        while(1) {
            if(ex % (ey + k) != 0) break;
            ans++;
            ex = ex / (ey / k + 1);
            if(ex < ey) swap(ex, ey);
            k = __gcd(ex, ey);
        }
        printf("Case #%d: %d
", _++, ans);
    }
    return 0;
}