• 数论--扩展欧几里得算法


    学习:扩展欧几里德算法详解

     欧几里德有个十分有用的定理: gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ,这样,我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了,这就是欧几里德算法

    1 int gcd(int a,int b)
    2 {
    3     return b==0?a:gcd(b,a%b);
    4 }

    扩展欧几里德:

      

        现在我们知道了a 和 b 的最大公约数是 gcd ,那么,我们一定能够找到这样的 x 和 y ,使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程(其实是一种丢番图方程),有多解是一定的,但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么,我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解

    ax1+by1=ax2+by2

    a(x1-x2)=b(y2-y1)  两边同除以g  a'(x1-x2)=b'(y2-y1),a' b'互质

    则x1-x2定是b'的整数倍,y2-y1=ka'          (x0+ka',y0-ka')

    现在,我们知道了一定存在 x 和 y 使得 : a*x + b*y = gcd , 那么,怎么求出这个特解 x 和 y 呢?只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

        我们观察到:欧几里德算法停止的状态是: a= gcd , b = 0 ,那么,这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢?因为,这时候,只要 a = gcd 的系数是 1 ,那么只要 b 的系数是 0 或者其他值(无所谓是多少,反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1),这时,我们就会有: a*1 + b*0 = gcd

        当然这是最终状态gcd(a,0)=1*a-0*0=a,但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢?

        假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数,并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ,而我们已经求出了下一个状态:b 和 a%b 的最大公约数,并且求出了一组x1 和y1 使得: b*x1 + (a%b)*y1 = gcd , 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢?

        我们知道: a%b = a - (a/b)*b(这里的 “/” 指的是整除,例如 5/2=2 , 1/3=0),那么,我们可以进一步得到:两状态的关系

            gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

        对比之前我们的状态:求一组 x 和 y 使得:a*x + b*y = gcd ,是否发现了什么?

        这里:

            x = y1

            y = x1 – a/b*y1

        以上就是扩展欧几里德算法的全部过程,依然用递归写:

     1 int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)///由x=1,y=0回溯
     2 {
     3     if(b==0)
     4     {
     5       x=1;y=0;
     6       return a;  
     7     }
     8     int ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
     9     int temp=x;
    10     x=y;
    11     y=temp-a/b*y;
    12     return ans;
    13 }

    欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数,但是扩展欧几里德算法就不同了,我们既可以求出最大公约数,还可以顺带求解出使得: a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

    用处之一求乘法逆元

    求不定方程ax+b+c=0的整数解

    设a,b,c为任意整数,g=gcd(a,b),方程ax+by=g的一组解为(x0,y0)

    1.当c是g的倍数时,方程的一组解是(x0*c/g,y0*c/g)

    2.当c不是g的倍数时  无整数解

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/kimsimple/p/6392237.html
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