hdu 3440 House Man

https://vjudge.net/problem/HDU-3440

题意：

一个超人，他可以一个从一栋楼跳到另一栋楼。有一天，他为了加强技能，准备跳一系列的楼，他每次都从低的楼，跳到高的楼。他从最低的楼开始跳，但是他跳的水平距离是有限制的。

但是因为他是超人，所以他可以任意移动楼，而且他想他开始跳的楼与最后跳到的楼的距离最大。

他移动楼的时候有某些限制：

1.移动之后的楼的排列顺序必须与输入的顺序相同。

2.必须满足水平跳跃的距离的限制。

求这个最大距离，如果跳不到的话，输出-1。

思路：

首先，超人跳的每栋楼的是按照高度递增的顺序来的，比如说i,j是高度相邻的两栋楼，那么两栋楼之间的距离肯定得满足|xi - xj| <= d（限制），然后因为每栋楼之间的距离肯定是大于等于1的，所以Xi+1 - Xi >= 1，所以我们就可以找出一系列的不等式。我们需要通过这一系列的不等式找出加入最低的下标为u，最高的下标为v，那么就是|Xu-Xv|的最大值，这样的问题其实是一类叫做差分约束系统的问题。

差分约束系统是由最短路的松弛条件d[v] >= d[u] + w(u,v) 得来的，假设有不等式 Xi - Xj <= len，变形得到 Xi <= Xj + len，这样就和最短路的松弛条件近似了，虽然说一个是大于等于，一个是小于等于，但是本质其实是一样的，可以看成d[i] <= d[j] + w(j,i)，那么此时就可以建一条从j到i的边，然后求出目标不等式的最大值，即相当于求图中的最短路。

为什么是最短路呢？比如有a - b <= 3 ,b - c <= 5,a - c <= 10，此时如果要求a - c的最大值，可以轻易地看出最大值是8，即是图中的a到c的最短路，而不是10，本质是求所有不等式的交集，按照差分的约束条件 <= ，那么就是求最小的那个。

还剩一个问题就是有没有可能出现无解的情况，那就是图中出现了负环，最短路可以无穷小，此时当然就无解了，比如b - a <= -3,c - b <= 2 ,a - c <= -5，那么此时就是一个负环，此时求c - a的最小值，有c - a <= -1,c - a >= 5，此时就矛盾了，不存在最小值。

ok，回过来看这道题，根据题中的|xi - xj| <= d，我们可以建图，去掉绝对值的方法就是边从下标小的点指向下标大的点，因为输入的楼之间是有先后顺序的，之后因为每栋楼之间的距离必须大于等于1，所以Xi+1 - Xi >= 1（上面提到了，之后跑图的话，就用spfa，因为dij无法判断途中是否存在负环，spfa判断途中是否存在负环的条件是一个点入队的次数大于了n。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct edge
{
    int from,to;
    int w;

    edge(){};
    edge(int x,int y,int z)
    {
        from = x;
        to = y;
        w = z;
    }
};

struct node
{
    int hei;
    int id;

    bool operator < (const node &rhs) const
    {
        return this -> hei < rhs.hei;
    }
} h[1005];

vector<edge> edges;
vector<int> v[1005];

void init(int n)
{
    edges.clear();

    for (int i = 0;i <= n;i++)
        v[i].clear();
}

void adde(int from,int to,int w)
{
    edge e = edge(from,to,w);

    edges.push_back(e);

    int sz = edges.size();

    v[from].push_back(sz - 1);
}

bool vis[1005];
int d[1005];
int cnt[1005];
const int inf = 0x3f3f3f3f;

bool spfa(int s,int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(d,inf,sizeof(d));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));

    vis[s] = 1;
    cnt[s] = 1;

    queue<int> q;

    q.push(s);

    d[s] = 0;

    while (!q.empty())
    {
        int cur = q.front();
        q.pop();

        vis[cur] = 0;

        for (int i = 0;i < v[cur].size();i++)
        {
            int id = v[cur][i];

            int to = edges[id].to;

            if (d[to] > d[cur] + edges[id].w)
            {
                d[to] = d[cur] + edges[id].w;

                if (!vis[to])
                {
                    q.push(to);
                    vis[to] = 1;
                    cnt[to]++;

                    if (cnt[to] > n) return 1;
                }
            }
        }
    }

    return 0;
}

int main()
{
    int t;
    int cas = 0;

    scanf("%d",&t);

    while (t--)
    {
        printf("Case %d: ",++cas);

        int n,dis;

        scanf("%d%d",&n,&dis);

        init(n);

        for (int i = 1;i <= n;i++)
        {
            scanf("%d",&h[i].hei);
            h[i].id = i;
        }

        for (int i = 1;i < n;i++)
        {
            adde(i+1,i,-1);
        }

        sort(h+1,h+n+1);

        for (int i = 1;i < n;i++)
        {
            int x = min(h[i].id,h[i+1].id);
            int y = max(h[i].id,h[i+1].id);
            adde(x,y,dis);
        }

        int s = min(h[1].id,h[n].id);
        int en = max(h[1].id,h[n].id);

        bool f = spfa(s,n);

        if (f) printf("-1
");
        else printf("%d
",d[en]);
    }

    return 0;
}