等比数列、矩阵二分求和

　　对于式子的值，我们若直接算出等比数列的和再模上M，那么中间结果可能会溢出。对于这个问题，我们可以用二分求和来做，这样一来，它的中间结果每次都在模M，任何时候都不会有溢出的危险。对上述式子进行如下化简：

根据，以上化简的结果，我们可以得出递归的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MOD = 10000;
int Pow(int a, int n)
{
    int r=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            r = (r*a)%MOD;
        a = (a*a)%MOD;
        n >>= 1;
    }
    return r;
}
// 计算Sn = (a^1+a^2+...+a^n)%MOD
int Sum(int a, int n)
{
    if(n==1) return a;
    int t = Sum(a, n/2);
    if(n&1)
    {
        int c = Pow(a, n/2+1);
        t = (t%MOD+(t%MOD*c%MOD)%MOD+c%MOD)%MOD;
    }
    else
    {
        int c = Pow(a, n/2);
        t = (t + t*c) % MOD;
    }
    return t;
}
int  main()
{
    int a, n;
    while(~scanf("%d%d",&a, &n))
    {
        printf("%d
",Sum(a, n));
    }
    return 0;
}

相应的可以得出矩阵二分求和的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 35
int MOD;

struct Matrix
{
    int map[N][N];
    int n;
    Matrix()
    {
        n=0;
        memset(map, 0, sizeof map);
    }
    Matrix(int k)
    {
        n = 0;
        memset(map, 0, sizeof map);
        for(int i=0; i<N; i++) map[i][i] = k;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &a) const
    {
        Matrix e;
        e.n = n;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
                for(int k=0; k<n; k++)
                    e.map[i][j] = (e.map[i][j]+a.map[i][k]*map[k][j])%MOD;
        return e;
    }
    Matrix operator + (const Matrix &a) const
    {
        Matrix e;
        e.n = n;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
                e.map[i][j] = (a.map[i][j] + map[i][j])%MOD;
        return e;
    }
    void print() const
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n-1; j++)
                printf("%d ",map[i][j]);
            printf("%d
",map[i][n-1]);
        }
    }
};

Matrix Pow(Matrix a, int b)
{
    Matrix e(1);
    e.n = a.n;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            e = a * e;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return e;
}

// 计算 Sn = (a+a^2+a^3+...+a^n)%MOD; 其中a为矩阵.
Matrix Sum(Matrix a, int n)
{
    if(n==1)return a;
    Matrix t = Sum(a, n/2);
    if(n&1)
    {
        Matrix c = Pow(a, n/2+1);
        t = t + (t * c);
        t = t + c;
    }
    else
    {
        Matrix c = Pow(a, n/2);
        t = t + (t * c);
    }
    return t;
}

int main()
{
    int n, m, k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n, &k, &m) && n+m)
    {
        MOD = m;
        Matrix A, B;
        A.n = n;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
                scanf("%d",&A.map[i][j]);
        B = Sum(A, k);
        B.print();
    }
    return 0;
}