前言：本萌新这里的笔记基本摘自于书+一些自己的浅层理解，如有错误请吐槽！欢迎指正！
鸽巢原理
定理：
如果n+1个物体，被放入n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或多个物体。（这一点无需证明也能理解吧）
应用1：
在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份。（哇，看似好简单啊~这破应用！）
应用2：
问题：设有n对夫妇，为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n个人中选出多少人？
其实就是n+1个人对不对。考虑如果我选n个人的话？那么我们一定能构造x个男性，n-x个女性都不存在x个男性的配偶x∈[0,n]，那么我们一旦多一个，一定会多一个异性使得“平衡破坏”，而产生一对夫妇。
应用3：
这个应用我觉得肯定有人做过这道题目：51nod 1103
我们简单的思考这个问题，考虑从1位置开始的m个前缀和。
我们排除这m个前缀和%m==0的情况，因为这样就已经满足整除m了。
我们知道除以m的数最多只有m-1个非零余数，那么bingo!很明显，这些前缀和必然存在相同的余数。so，如果前缀和sum[1,i]%m==sum[1,j]%m且i<j，那么是不是(sum[1,j]-sum[1-i])%m=0。所以一定存在。
应用4：
一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，但每周下棋不超过12盘。证明连续若干天，这位大师恰好下了21盘棋。
分析：11周-77天，我们考虑sum[1,i]代表从第一天开始到第 i 天的下棋盘数总数，我们能知道这个序列是严格递增的序列
sum[1,1]<sum[1,2]<sum[1,3]<......<sum[1,77]，并且说一星期下棋不超过12盘，那么12*11=132，即
1≤sum[1,1]<sum[1,2]<sum[1,3]<......<sum[1,77]≤132.
现在去套上21！1+21(22)≤sum[1,1]+21<sum[1,2]+21<sum[1,3]+21<......<sum[1,77]+21≤132+21(153).
我们知道由于严格递增，对于任意i≠j,sum[1,i]≠sum[1,j]，那么也就可以推出：对于任意i≠j,sum[1,i]+21≠sum[1,j]+21
那么对于这154（77+77）个数：sum[1,1]，sum[1,2]，sum[1,3]，......，sum[1,77]，sum[1,1]+21，sum[1,2]+21，sum[1,3]+21，......，sum[1,77]+21，
属于[1,153]范围内，一定存在两个相等的数！由于两类各自都不存在相等的数，那么一定存在：i,j，sum[1,i]+21=sum[1,j]，也就是说在i+1,i+2,...,j连续这几天内下了21盘棋。
（这个应用开始有意思了？）