暑假集训Day4 E(线段树好题)

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这道题如果按照题目意思去算c_i的话每一步都会是 O(n) 的复杂度，而且并不知道每一步的操作对后续的影响是什么，很显然不能这么做

这种情况下我们要考虑到要将c_i化成一个和 1...i 或者 i...n 有关的式子（i...n的情况可以用1...n减去1...i-1来解决），这样才能用数据结构的方法去解决

将c_x展开来看的话，我们可以发现c_x=max(a_i+b_i+b_(i+1)+b_(i+2)+...+b_x) (i=1...x) 到这一步已经有些眉目了，我们可以建立一棵最大值线段树，但是我们发现这个b_i的求和还是有些难度的，仔细观察可以发现是上一段说到的 i...n 的情况，所以式子可以化简为 c_x=(b_1+...+b_x) + max (a_i - (b_1+...+b_i)) (i=1...x) 这样我们就把 i...n 的情况转化为1...i的情况，就可以用树状数组的方法比较容易的求出来。

上上段说到的这个简化提取通项的思想是非常重要的，不仅是在数据结构中有用，因为如果不简化取通项，永远只能关注到前后两项，根本找不出思路，这种求通项的思想在很多问题中都具有广泛应用。

#include "bits/stdc++.h"
#define lson rt<<1,l,m
#define rson rt<<1|1,m+1,r
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX=2e5+5;
LL n,cas;
LL a[MAX],b[MAX],s[MAX];
LL t[MAX<<2],la[MAX<<2];
void update(LL x,LL y){for (;x<=n;x+=(x&-x)) s[x]+=y;}
LL search(LL x){LL an=0;for (;x>0;x-=(x&-x)) an+=s[x];return an;}
void PushDown(LL rt){
    if (la[rt]){
        t[rt<<1]+=la[rt];
        t[rt<<1|1]+=la[rt];
        la[rt<<1]+=la[rt];
        la[rt<<1|1]+=la[rt];
        la[rt]=0;
    }
}
void PushUp(LL rt){
    t[rt]=max(t[rt<<1],t[rt<<1|1]);
}
void build(LL rt,LL l,LL r){
    la[rt]=0;
    if (l==r){
        t[rt]=a[l]-search(l);
        return;
    }
    LL m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(rt);
}
void upd(LL rt,LL l,LL r,LL x,LL y,LL z){
    if (x<=l && r<=y){
        la[rt]+=z;
        t[rt]+=z;
        return;
    }
    LL m=(l+r)>>1;
    PushDown(rt);
    if (x<=m)
        upd(lson,x,y,z);
    if (y>m)
        upd(rson,x,y,z);
    PushUp(rt);
}
LL srch(LL rt,LL l,LL r,LL x,LL y){
    if (x<=l && r<=y) return t[rt];
    LL m=(l+r)>>1,an=-10000000000000000ll;
    PushDown(rt);
    if (x<=m)
        an=max(an,srch(lson,x,y));
    if (y>m)
        an=max(an,srch(rson,x,y));
    return an;
}
int main(){
//    freopen ("e.in","r",stdin);
//    freopen ("e.out","w",stdout);
    LL i,j,x,y,z;
    while (scanf("%lld%lld",&n,&cas)!=EOF){
        for (i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",a+i);
            s[i]=0;
        }
        for (i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",b+i);
            update(i,b[i]);
        }
        build(1,1,n);
        while (cas--){
            scanf("%lld",&x);
            if (x==1){
                scanf("%lld%lld",&y,&z);
                upd(1,1,n,y,y,z-a[y]);
                a[y]=z;
            }
            if (x==2){
                scanf("%lld%lld",&y,&z);
                update(y,z-b[y]);
                upd(1,1,n,y,n,b[y]-z);
                b[y]=z;
            }
            if (x==3){
                scanf("%lld",&y);
                printf("%lld\n",search(y)+max(0ll,srch(1,1,n,1,y)));
            }
        }
    }
    return 0;
}