转D3D中的四元数

http://blog.csdn.net/cppyin/article/details/6177742

 

在3D程序中，通常用quaternion来计算3D物体的旋转角度，与Matrix相比，quaternion更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位：

i*i = j*j = k*k= -1

i*j = k, j*i = -k

可以把quaternion看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V，或三个单独的分量（x,y,z）。所以quaternion可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,x）]。对quaternion最大的误解在于认为w表示旋转角度，V表示旋转轴。正确的理解应该是w与旋转角度有关，v与旋转轴有关。例如，要表示以向量N为轴，轴旋α度,相对的quaternion应该是：

q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N]

  =[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ]

为了计算方便，一般要求N为单位矢量。对quaternion来说使用四个值就能记录旋转，而不是Matrix所需的十六个值。为什么用quaternion来计算旋转很方便呢?先说过quaternion是一个复数,如果你还记得一点点复数的知识,那么应该知道复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。对最简单的复数p= x + yi来说，和另一个复数q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：

p’ = pq

当然，x+yi的形式只能表示2D变换，对3D变换来说就需要使用 quaternion了，而且计算也要复杂一点。为了对3D空间中的一个点p（x,y,z）进行旋转，需要先把它转换为quaternion形式p = [0, ( x, y, z)]，接下来前面讨论的内容，定义q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N为旋转quaternion，这里N为单位矢量长度的旋转轴，α为旋转角度。那么旋转之后的点p’则为：

       p’ = qpq^-1

1. 数学分析

1) 四元数是什么东西？

这个东西算盘、矩阵、复数是一类东西，即数学工具，数学家们创造了这个东西来解决一些数学问题。其实四元数是一种超复数，他不是只有一个虚数的复数，而是有三个虚数的复数。我们先回顾一下复数吧。

2) 虚数的来源

实数集中没有-1的平方根，因为没有哪个实数的平方等于-1，所以数学家们就创造它——虚数i，并且定义了i * i = -1。

所以我们可以计算sqrt(-4)了，sqrt(-4) = 2*i

3) 复数

定义：一个实数与一个虚数的和。 z = a + bi。

a叫实部，b叫虚部。

其中(a,b)为复平面上的点。这也是为什么3D图形运算能和四元数挂上关系了。

运算法则：

z1 = a + b*i

z2 = c + d*i

与标量相乘 k*z1 = k*a + K*b*i

复数相加 z1 + z2 = a + c + (b + d) * i

复数相乘 z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i) = a * c + a * d * i + c * b * i - b * d = a*c - b*d + (a*d+b*c) * i

复数相除 z1 / z2 = (a + b*i) / (c + d*i)

z1的共轭z1* = a - b*i，作用是z×z*为实数

所以复数相除 z1 / z2 = (a + b*i)*(c - d*i) / (c²+d²) = ... = (a*c + b*d)/(a²+b²) + (b*c-a*d)*i)/(a²+b²)

z1的倒数 1/z = 1 / (a+b*i)，同样可以转化为：a/(a²+b²) + b*i/(a²+b²)

z1的范数 |z| = sqrt(a²+b²) = sqrt(z×z*)

4) 超复数

q = q₀ + q₁*i + q₂*j + q₃*k

上面就是四元数的表示，其中q₀为实部，而虚部<q₁,q₂,q₃>正好组成了3D复平面中的向量。

简写就是q = q₀ + q_v，其中q_v是向量<q₁, q₂ ,q₃>。

超复数的运算法则与复数相同，这里就不再重复了，但要特别说明四元数的倒数q^-1。

q×q^-1 = 1

两边同时乘以q*：

q×q^-1×q* = q*

因为：q×q* = |q|²

所以q^-1=q* / |q|²

可以注意到，如果q是一个单位四元数的话，那么q的倒数就等于q的共轭。

这个特性非常重要，因为在四元数旋转中要使用。

5) 四元数旋转

对于一个3D向量<x, y, z>，我们把他表现为四元数形式，则是：v_q= <0, x, y, z>。

以及给定一个表示旋转轴和旋转角度的单位四元数q，那么向量v_q绕指定轴旋转指定角度的结果四元数v_q'满足如下：

右手坐标系：

  顺时针旋转：v_q' = q^*×v_q×q

  逆时针旋转：v_q' = q×v_q×q^*

左手坐标系：

  顺时针旋转：v_q' = q×v_q×q^*

  逆时针旋转：v_q' = q^*×v_q×q

其中，对于那个用于存储旋转轴和旋转角度的单位四元数q，他与旋转轴v = <x0, y0, z0>和角度theta关系如下：

q = Cos(theta/2) + Sin(theta/2) × v

2. 代码实现

1) 四元数结构体定义

typedef struct QUAT_TYPE // 四元数
{
    union
    {
        double M[4];
        struct
        {
            double w, x, y, z;
        };
        struct
        {
            double q0;
            VECTOR3D qv;
        };
    };
} QUAT, *QUAT_PTR;

2) 四元数常用操作函数实现

void _CPPYIN_Math::QuatCreate(QUAT_PTR q, VECTOR3D_PTR v, double theta) // 创建用于旋转的四元数q, v必须为单位向量
{
    double theta_div_2 = (0.5)*theta;
    double sin_theta = sin(theta_div_2);

    q->x = sin_theta * v->x;
    q->y = sin_theta * v->y;
    q->z = sin_theta * v->z;
    q->w = cos( theta_div_2 );
}

void _CPPYIN_Math::QuatGetVectorAndTheta(QUAT_PTR q, VECTOR3D_PTR v, double *theta)
{
    *theta = acos(q->w);
    double sin_theta_inv = 1.0/sin(*theta);

    v->x = q->x * sin_theta_inv;
    v->y = q->y * sin_theta_inv;
    v->z = q->z * sin_theta_inv;

    *theta *= 2;
}

void _CPPYIN_Math::QuatAdd(QUAT_PTR q1, QUAT_PTR q2, QUAT_PTR qsum)
{
    qsum->x = q1->x + q2->x;
    qsum->y = q1->y + q2->y;
    qsum->z = q1->z + q2->z;
    qsum->w = q1->w + q2->w;
}

void _CPPYIN_Math::QuatSub(QUAT_PTR q1, QUAT_PTR q2, QUAT_PTR qdiff)
{
    qdiff->x = q1->x - q2->x;
    qdiff->y = q1->y - q2->y;
    qdiff->z = q1->z - q2->z;
    qdiff->w = q1->w - q2->w;
}

void _CPPYIN_Math::QuatConjugate(QUAT_PTR q, QUAT_PTR qconj) // 求共轭
{
    qconj->x = -q->x;
    qconj->y = -q->y;
    qconj->z = -q->z;
    qconj->w = q->w;
}

void _CPPYIN_Math::QuatScale(QUAT_PTR q, double scale, QUAT_PTR qs)
{
    qs->x = scale * q->x;
    qs->y = scale * q->y;
    qs->z = scale * q->z;
    qs->w = scale * q->w;
}

double _CPPYIN_Math::QuatNorm(QUAT_PTR q)
{
    return sqrt(q->w * q->w + q->x * q->x + q->y * q->y + q->z * q->z);
}

double _CPPYIN_Math::QuatNorm2(QUAT_PTR q)
{
    return q->w * q->w + q->x * q->x + q->y * q->y + q->z * q->z;
}

void _CPPYIN_Math::QuatNormalize(QUAT_PTR q, QUAT_PTR qn)
{
    double qlength_inv = 1.0/(sqrt(q->w*q->w + q->x*q->x + q->y*q->y + q->z*q->z));

    qn->w = q->w * qlength_inv;
    qn->x = q->x * qlength_inv;
    qn->y = q->y * qlength_inv;
    qn->z = q->z * qlength_inv;
}

void _CPPYIN_Math::QuatUnitInverse(QUAT_PTR q, QUAT_PTR qi) // 单位四元数的逆，等于求共轭
{
    qi->w =  q->w;
    qi->x = -q->x;
    qi->y = -q->y;
    qi->z = -q->z;
}

void _CPPYIN_Math::QuatInverse(QUAT_PTR q, QUAT_PTR qi) // 非单位四元数的逆
{
    double norm2_inv = 1.0 / (q->w * q->w + q->x * q->x + q->y * q->y + q->z * q->z);

    qi->w =  q->w * norm2_inv;
    qi->x = -q->x * norm2_inv;
    qi->y = -q->y * norm2_inv;
    qi->z = -q->z * norm2_inv;
}

void _CPPYIN_Math::QuatMul(QUAT_PTR q1, QUAT_PTR q2, QUAT_PTR qprod)
{
    double prd_0 = (q1->z - q1->y) * (q2->y - q2->z);
    double prd_1 = (q1->w + q1->x) * (q2->w + q2->x);
    double prd_2 = (q1->w - q1->x) * (q2->y + q2->z);
    double prd_3 = (q1->y + q1->z) * (q2->w - q2->x);
    double prd_4 = (q1->z - q1->x) * (q2->x - q2->y);
    double prd_5 = (q1->z + q1->x) * (q2->x + q2->y);
    double prd_6 = (q1->w + q1->y) * (q2->w - q2->z);
    double prd_7 = (q1->w - q1->y) * (q2->w + q2->z);
    double prd_8 = prd_5 + prd_6 + prd_7;
    double prd_9 = 0.5 * (prd_4 + prd_8);

    qprod->w = prd_0 + prd_9 - prd_5;
    qprod->x = prd_1 + prd_9 - prd_8;
    qprod->y = prd_2 + prd_9 - prd_7;
    qprod->z = prd_3 + prd_9 - prd_6;
}

void _CPPYIN_Math::QuatMul3(QUAT_PTR q1, QUAT_PTR q2, QUAT_PTR q3, QUAT_PTR qprod) // 三个四元数相乘，用于做旋转变换
{
    QUAT qtmp;
    QuatMul(q1, q2, &qtmp);
    QuatMul(&qtmp, q3, qprod);
}