机器学习实战笔记-预测数值型数据:回归

8. 1 用线性回归找到最佳拟合直线

线性回归 
优点：结果易于理解，计算上不复杂。 
缺点：对非线性的数据拟合不好。 
适用数据类型：数值型和标称型数据。

回归的目的是预测数值型的目标值。最直接的办法是依据输人写出一个目标值的计算公式。 
假如你想要预测姐姐男友汽车的功率大小，可能会这么计算： 
HorsePower = 0.0015* annualSalary - 0.99* hoursListeningToPublicRadio 
这就是所谓的回归方程（regression equation),其中的0.0015和-0.99称作回归系数（regression weights) ,求这些回归系数的过程就是回归。一旦有了这些回归系数，再给定输人，做预测就非常容易了。具体的做法是用回归系数乘以输人值，再将结果全部加在一起，就得到了预测值。

回归的一般方法 
(1)收集数据：采用任意方法收集数据。 
(2)准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成二值型数据。 
(3)分析数据：绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法求得新回归系数之后, 可以将新拟合线绘在图上作为对比。 
(4)训练算法：找到回归系数。 
(5)测试算法：使用R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果。 
(6)使用算法：使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签。

应当怎样从一大堆数据里求出回归方程呢？假定输人数据存放在矩阵X中，而回归系数存放在向量w中。那么对于给定的数据x1 , 预测结果将会通过Y1=XT1w给出。现在的问题是，手里有一些x和对应的y,怎样才能找到w呢？一个常用的方法就是找出使误差最小的w,这里的误差是指预测值和真实值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差。

平方误差可以写作: 

$sum_{i=1}^{n}$

用矩阵表示还可以写做(y−xw)T(y−xw)。如果对w求导，得到XT(Y−Xw)，令其等于零，解出w如下: 

w=(XTX)−1XTy

w上方的小标记表示，这是当前可以估计出的w最优解。从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实城值，所以这里使用了一个“帽”符号来表示它仅是w的一个最佳估计。（不知道怎么把冒号添上去，汗） 
值得注意的是，上述公式中包含(XTX−1), 也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，因此必须要在代码中对此作出判断。 
上述的最佳w求解是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决。通过调用沖Numpy库里的矩阵方法，我们可以仅使用几行代码就完成所需功熊。该方法也称作OLS，意 思是”普通最小二乘法”（ordinary least squares)。

下面看看实际效果，对于图8-1中的散点图，下面来介绍如何给出该数据的最佳拟合直线。 

标准回归函数和数据导人函数,代码如下所示:

#general function to parse tab -delimited floats
def loadDataSet(fileName):
    #get number of fields,默认最后一列为y      
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('	')) - 1 
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('	')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        dataMat.append(lineArr)
        labelMat.append(float(curLine[-1]))
    return dataMat,labelMat

def standRegres(xArr,yArr):
    xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
    xTx = xMat.T*xMat
    #防止xTx无法求逆矩阵
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print "This matrix is singular, cannot do inverse"
        return
    #利用之前推导出的公式求出w
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

测试截图如下: 
 
变量ws存放的就是回归系数。在用内积来预测y的时候，第一维将乘以前面的常数X0，第二维将乘以输人变量X1。因为前面假定了X0=1，所以最终会得到y =ws[0]+ws [1]*X1。这里的y实际是预测出的，为了和真实的y值区分开来，我们将它记为yHat 。下面使用新的ws值计算yHat: 
 
注意，如果直线上的数据点次序混乱，绘图时将会出现问题，所以首先要将点按照升序排列，使用sort方法。 

几乎任一数据集都可以用上述方法建立模型，那么，如何判断这些模型的好坏呢？比较一下图8-3的两个子图，如果在两个数据集上分别作线性回归，将得到完全一样的模型（拟合直线)。显然两个数据是不一样的，那么模型分别在二者上的效果如何？我们当如何比较这些效果的好坏呢？有种方法可以计算预测值沖社序列和真实值乂序列的匹配程度，男防尤是计算这两个序列的相关系数。 

在python中 ，Numpy库提供了相关系数的计算方法：可以通过命令corrcoef(yEstimate,yActual)来计算预测值和真实值的相关性。下面我们就在前面的数据集上做个实验。 
 
该矩阵包含所有两两组合的相关系数。可以看到，对角线上的数据是1.0，因为yMat和自己的匹配是最完美的，而YHat和YMat的相关系数为0.98。

8.2 局部加权线性回归 
线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有最小均方误差的无偏估计 。显而易见，如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引人一些偏差，从而降低预测的均方误差。

其中的一个方法是局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression, LWLR )。在该算法中 ，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重；然后与8.1节类似，在这个子集上基于最小均方差来进行普通的回归。与kNN一样, 这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。该算法解出回归系数w的形式如下： 

w=(XTWX)−1XTWy

其中w是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重。 
LWLR使用”核”(与支持向量机中的核类似)来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下： 

w(i,i)=exp(|xi−x|−2k2)

这样就构建了一个只含对角元素的权重矩阵w并且点x与x(i)越近,w(i,i)将会越 大 。上述公式包含一个需要用户指定的参数k,它决定了对附近的点赋予多大的权重，这也是使用LWLR时唯一需要考虑的参数，在图8-4中可以看到参数k与权重的关系。 

局部加权线性回归函数,代码如下:

def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
    #将二维数组xMat, yMat转化为矩阵
    xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
    m = shape(xMat)[0]
    #加权矩阵，初始化为m维单位矩阵
    weights = mat(eye((m)))
    for j in range(m):                      #next 2 lines create weights matrix
        #循环求出testPoint与矩阵中每行向量的差
        diffMat = testPoint - xMat[j,:]
        #利用权重公式求出testPoint对应的此矩阵的权重
        weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
    #依然利用上节的公式求出xTx，不同的是对xMat加上了权重，即每行为x1乘以对应的权重
    xTx = xMat.T * (weights * xMat)
    #测试xTx是否可逆
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("This matrix is singular, cannot do inverse")
        return
    #依然利用上节的公式求ws，不同在于每行的x和y都分别乘以对应的权重
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
    #返回局部加权预测值
    return testPoint * ws

def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):  #loops over all the data points and applies lwlr to each one
    m = shape(testArr)[0]
    yHat = zeros(m)
    for i in range(m):
        #循环利用lwlr函数计算出testArr每行向量对应的ws，算出加权预测值
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

测试代码如下: 
 
测试截图如下,当k=0.003时: 
 
当k=0.01时: 
 
当k=1时: 

当k=1.0时权重很大，如同将所有的数据视为等权重，得出的最佳拟合直线与标准的回归一致。使用k=0.01得到了非常好的效果，抓住了数据的潜在模式。使用k=0.003纳人了太多的噪声点，拟合的直线与数据点过于贴近,过拟合。 
局部加权线性回归也存在一个问题，即增加了计算量，因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集。k=0.01时可以得到很好的估计，但是同时看一下k=0.01的情况，就会发现大多数据点的权重都接近零。如果避免这些计算将可以减少程序运行时间，从而缓解因计算量增加带来的问题。

8.3 示例：预测鲍鱼的年龄

接下来，我们将回归用于真实数据。在data目录下有一份来自UCI数据集合的数据，记录了鲍鱼（一种介壳类水生动物）的年龄。鲍鱼年龄可以从鲍鱼壳的层数推算得到。 
计算预测值和实际值方差的代码如下:

def rssError(yArr,yHatArr): #yArr and yHatArr both need to be arrays
    return ((yArr-yHatArr)**2).sum()

测试截图如下: 
 
可以看到,使用较小的核将得到较低的误差。那么,为什么不在所有数据集上都使用最小的核呢？这是因为使用最小的核将造成过拟合，对新数据不一定能达到最好的预测效果。下面看看它们在新数据上面的表现: 
测试截图如下: 
 
从上述结果可以看到，在上面的三个参数中，核大小等于10时的测试误差最小，但它在训练集上的误差却是最大的。接下来再来和简单的线性回归做个比较： 
 
简单线性回归达到了与局部加权线性回归类似的效果。这也表明一点，必须在未知数据上比较效果才能选取到最佳模型。那么最佳的核大小是10吗？或许是，但如果想得到更好的效果，应该用10个不同的样本集做10次测试来比较结果。

本例展示了如何使用局部加权线性回归来构建模型，可以得到比普通线性回归更好的效果。局部加权线性回归的问题在于，每次必须在整个数据集上运行。也就是说为了做出预测，必须保存所有的训练数据。下面将介绍另一种提高预测精度的方法，并分析它的优势所在。

8.4 缩减系数来”理解”数据

如果数据的特征比样本点还多应该怎么办？是否还可以使用线性回归和之前的方法来做预测？答案是否定的，即不能再使用前面介绍的方法。这是因为在计算(XTX)−1的时候会出错。 
为了解决这个问题，统计学家引入了岭回归（ridge regression)的概念，这就是本节将介绍的第一种缩减方法。接着lasso法，该方法效果很好但计算复杂。本节最后介绍了第二种缩减方法，称为前向逐步回归，可以得到与lasso差不多的效果，且更容易实现。

8.4.1 岭回归

简单说来，岭回归就是在矩阵XTX上加一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对XTX+λI求逆。其中矩阵I是一个m∗m的单位矩阵，对角线上元素全为1 ,其他元素全为0。而λ是一个用户定义的数值，后面会做介绍。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成： 

w=(XTX+λI)−1XTy

岭回归最先用来处理特征数多于样本数的情况，现在也用于在估计中加人偏差，从而得到更好的估计。这里通过引入λ来限制了所有w之和，通过引人该惩罚项，能够减少不重要的参数，这个技术在统计学中也叫做缩减（shrinkage )。

岭回归中的岭是什么? 
岭回归使用了单位矩阵乘以常量λ，我们观察其中的单位矩阵, 可以看到值1贯穿整个对角线，其余元素全是0。形象地，在0构成的平面上有一条1组成的“岭”，这就是岭回归中的“岭”的由来 
缩减方法可以去掉不重要的参数，因此能更好地理解数据。此外，与简单的线性回归相比，缩减法能取得更好的预测效果

岭回归,代码如下所示:

#根据岭回归公式计算出ws
def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):
    xTx = xMat.T*xMat
    denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam
    #如果lam设定为0的时候一样可能会产生错误，所以这里仍需要做一个检查
    if linalg.det(denom) == 0.0:
        print("This matrix is singular, cannot do inverse")
        return
    ws = denom.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

def ridgeTest(xArr,yArr):
    xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
    #mean表示求出y的均值
    yMean = mean(yMat,0)
    yMat = yMat - yMean     #to eliminate X0 take mean off of Y
    #regularize X's
    #求出xArr各列均值
    xMeans = mean(xMat,0)   #calc mean then subtract it off
    #求出xArr各列方差
    xVar = var(xMat,0)      #calc variance of Xi then divide by it
    xMat = (xMat - xMeans)/xVar
    numTestPts = 30
    #wMat表示岭回归系数矩阵,初始化为(30,n)维零数组
    wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))
    #循环30次，根据不同的lambda填充ws
    for i in range(numTestPts):
        ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))
        wMat[i,:]=ws.T
    return wMat

处理完成后就可以在30个不同的λ下调用ridgeRegres()函数。注意，这里的λ应以指数级变化，这样可以看出λ在取非常小的值时和取非常大的值时分别对结果造成的影响。最后将所有的回归系数输出到一个矩阵并返回。

测试截图: 

该图绘出了回归系数与log(λ)的关系。在最左边，即λ最小时，可以得到所有系数的原始值（与线性回归一致)；而在右边，系数全部缩减成0 ;在中间部分的某值将可以取得最好的预测效果。为了定量地找到最佳参数值，还需要进行交叉验证。另外，要判断哪些变量对结果预测最具有影响力,观察它们对应的系数大小就可以。

8.4.2 lasso

不难证明，在增加如下约束时，普通的最小二乘法回归会得到与岭回归的一样的公式： 

∑k=1nw2k<=λ

上式限定了所有回归系数的平方和不能大于λ。使用普通的最小二乘法回归在当两个或更多的特征相关时，可能会得出一个很大的正系数和一个很大的负系数。正是因为上述限制条件的存在，使用岭回归可以避免这个问题。

与岭回归类似，另一个缩减方法lassso也对回归系数做了限定，对应的约束条件如下： 

∑k=1n|wk|<=λ

唯一的不同点在于，这个约束条件使用绝对值取代了平方和。虽然约束形式只是稍作变化，结果却大相径庭：在λ足够小的时候，一些系数会因此被迫缩减到0 ,这个特性可以帮助我们更好地理解数据。这两个约束条件在公式上看起来相差无几，但细微的变化却极大地增加了计算复杂度（为了在这个新的约束条件下解出回归系数，需要使用二次规划算法)。下面将介绍一个更为简单的方法来得到结果，该方法叫做前向逐步回归。

8.4.3 前向逐步回归

前向逐步回归算法可以得到与lasso差不多的效果，但更加简单。它属于一种贪心算法，即每一步都尽可能减少误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或减少一个很小的值。

该算法的伪代码如下所示: 
数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差 
在每轮迭代过程中: 
 设置当前最小误差lowestError为正无穷 
 对每个特征： 
  增大或缩小： 
    改变一个系数得到一个新的W 
    计算新W下的误差 
    如果误差Error小于当前最小误差lowestError:设置Wbest等于当前的W 
 将W设置为新的Wbest

前向逐步线性回归,代码如下:

def regularize(xMat):#regularize by columns
    inMat = xMat.copy()
    inMeans = mean(inMat,0)   #calc mean then subtract it off
    inVar = var(inMat,0)      #calc variance of Xi then divide by it
    inMat = (inMat - inMeans)/inVar
    return inMat

def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):
    xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
    #mean()函数表示对矩阵求均值，axis=0指定按列求均值
    yMean = mean(yMat,0)
    yMat = yMat - yMean     #can also regularize ys but will get smaller coef
    #对xMat进行标准化处理，标准化处理函数为regularize()
    xMat = regularize(xMat)
    m,n=shape(xMat)
    #返回所有迭代中ws的变化情况，初始化为(numIt,n)维矩阵
    returnMat = zeros((numIt,n)) #testing code remove
    #回归系数ws初始化为(n,1)维零数组
    ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()
    #迭代numIt次，每次迭代，循环n*2次(每个特征有增大和减小两个方向)，找出令rssError最小的方向(哪个特征，对应增大还是减小),保存ws,下次迭代在ws基础上做更新
    for i in range(numIt):
        print(ws.T)
        lowestError = inf; 
        for j in range(n):
            for sign in [-1,1]:
                wsTest = ws.copy()
                wsTest[j] += eps*sign
                yTest = xMat*wsTest
                rssE = rssError(yMat.A,yTest.A)
                if rssE < lowestError:
                    lowestError = rssE
                    wsMax = wsTest
        ws = wsMax.copy()
        returnMat[i,:]=ws.T
    return returnMat

测试截图如下: 
 
 
上述结果中值得注意的是w1和w6都是0 ,这表明它们不对目标值造成任何影响，也就是说这些特征很可能是不需要的。另外，在参数eps(步长)设置为0.01的情况下，一段时间后系数就已经饱和并在特定值之间来回震荡，这是因为步长太大的缘故。这里会看到，第一个权重在0.04和0.05之间来回震荡

下面试着用更小的步长和更多的步数,测试结果截图如下: 
 
绘制returnMat,截图如下: 

接下来把这些结果与最小二乘法进行比较，后者的结果可以通过如下代码获得: 
 
可以看到在5000次迭代以后，逐步线性回归算法与常规的最小二乘法效果类似。 
逐步线性回归算法的实际好处并不在于能绘出这样漂亮的图,主要的优点在于它可以帮助人们理解现有的模型并做出改进。当构建了一个模型后，可以运行该算法找出重要的特征，这样就有可能及时停止对那些不重要特征的收集。最后，如果用于测试，该算法每100次迭代后就可以构建出一个模型，可以使用类似于10折交叉验证的方法比较这些模型，最终选择使误差最小的模型

当应用缩减方法（如逐步线性回归或岭回归)时，模型也就增加了偏差（bias)，与此同时却减小了模型的方差

8.5 权衡偏差与方差

任何时候，一旦发现模型和测量值之间存在差异，就说出现了误差。当考虑模型中的“噪声”或者说误差时，必须考虑其来源。你可能会对复杂的过程进行简化，这将导致在模型和测量值之间出现“噪声”或误差，若无法理解数据的真实生成过程，也会导致差异的发生。另外，测量过程本身也可能产生“噪声”或者问题。下面举一个例子，8.1节和8.2节处理过一个从文件导人的二维数据。实话来讲，这个数据是我自己造出来的，其具体的生成公式如下: 

y=3.0+1.7x+0.1sin(30x)+0.06N(0,1)

其中N(0,1)是一个均值为0、方差为1的正态分布。在8.1节中，我们尝试过仅用一条直线来拟合上述数据。不难想到，直线所能得到的最佳拟合应该是3.0+1.7x这一部分。这样的话，误差部分就是0.1sin(30x)+0.06N(0,1)。在8.2节和8.3节，我们使用了局部加权线性回归来试图捕捉数据背后的结构。该结构拟合起来有一定的难度，因此我们测试了多组不同的局部权重来找到具有最小测试误差的解。 
图8-8给出了训练误差和测试误差的曲线图，上面的曲线就是测试误差，下面的曲线是训练误差。根据8.3节的实验我们知道：如果降低核的大小，那么训练误差将变小。从图8-8来看，从左到右就表示了核逐渐减小的过程。 
 
一般认为，上述两种误差由三个部分组成：偏差、测量误差和随机噪声。在8.2节和8.3节，我们通过引人了三个越来越小的核来不断增大模型的方差。

8.4节介绍了缩减法，可以将一些系数缩减成很小的值或直接缩减为0，这是一个增大模型偏差的例子。通过把一些特征的回归系数缩减到0，同时也就减少了模型的复杂度。例子中有8个特征，消除其中两个后不仅使模型更易理解，同时还降低了预测误差。图8-8的左侧是参数缩减过于严厉的结果，而右侧是无缩减的效果。

方差是可以度量的。如果从鲍鱼数据中取一个随机样本集（例如取其中100个数据）并用线性模型拟合，将会得到一组回归系数。同理，再取出另一组随机样本集并拟合，将会得到另一组回归系数。这些系数间的差异大小也就是模型方差大小的反映。上述偏差与方差折中的概念在机器学习十分流行并且反复出现。 
下一节将介绍上述理论的应用：首先从拍卖站点抽取一些数据，再使用一些回归法进行实验来为数据找到最佳的岭回归模型。这样就可以通过实际效果来看看偏差和方差间的折中效果

8.6示例:预测乐高玩具套装的价格

 用回归法预测乐高套装的价格 
  (1)收Google Shopping的API收集数据。 
  (2)准备数据：从返回的JSON数据中抽取价格。 
  (3)分析数据：可视化并观察数据。 
  (4)训练算法：构建不同的模型，釆用逐步线性回归和直接的线性回归模型。 
  (5)测试算法：使用交叉验证来测试不同的模型，分析哪个效果最好。 
  (6)使用算法：这次练习的目标就是生成数据模型。

在这个例子中，我们将从不同的数据集上获取价格，然后对这些数据建立回归模型。需要做的第一件事就是如何获取数据。

8.6.1 收集数据：使用Google购物的API

Google已经为我们提供了一套购物的API来抓取价格。在使用处1之前，需要注册一个Goolge的账号，然后访问Google API的控制台来确保购物API可用。完成之后就可以发送HTTP请求，API将以JSON格式返回所需的产品信息。Python提供了JSON解析模块，我们可以从返回的JSON格式里整理出所需数据。详细的API介绍可以参见：http://code.google.com/apis/shopping/search/v1/getting_started.html。

购物信息的获取函数，代码如下:

def searchForSet(retX, retY, setNum, yr, numPce, origPrc):
    sleep(10)
    myAPIstr = 'AIzaSyD2cR2KFyx12hXu6PFU-wrWot3NXvko8vY'
    searchURL = 'https://www.googleapis.com/shopping/search/v1/public/products?key=%s&country=US&q=lego+%d&alt=json' % (myAPIstr, setNum)
    #通过google api获取对应商品编号的数据
    pg = urllib2.urlopen(searchURL)
    #将数据转化为json格式
    retDict = json.loads(pg.read())
    #遍历json数据,填充retX,retY
    for i in range(len(retDict['items'])):
        try:
            currItem = retDict['items'][i]
            if currItem['product']['condition'] == 'new':
                newFlag = 1
            else: newFlag = 0
            listOfInv = currItem['product']['inventories']
            for item in listOfInv:
                sellingPrice = item['price']
                if  sellingPrice > origPrc * 0.5:
                    print("%d	%d	%d	%f	%f" % (yr,numPce,newFlag,origPrc, sellingPrice))
                    retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])
                    retY.append(sellingPrice)
        except: print('problem with item %d' % i)

def setDataCollect(retX, retY):
    searchForSet(retX, retY, 8288, 2006, 800, 49.99)
    searchForSet(retX, retY, 10030, 2002, 3096, 269.99)
    searchForSet(retX, retY, 10179, 2007, 5195, 499.99)
    searchForSet(retX, retY, 10181, 2007, 3428, 199.99)
    searchForSet(retX, retY, 10189, 2008, 5922, 299.99)
    searchForSet(retX, retY, 10196, 2009, 3263, 249.99)

测试截图如下:(写的时候没有翻墙。。。) 

8.6.2 训练算法：建立模型

使用线性回归得到的模型如下: 
$55319.97−27.59Year−0.00268∗NumPieces−11.22∗NewOrUsed+2.57∗originalprice 
这个模型的预测效果非常好，但模型本身并不能令人满意。它对于数据拟合得很好，但看上去没有什么道理。从公式看，套装里零部件越多售价反而会越低。另外，该公式对新套装也有一定的惩罚。 
下面使用缩减法中一种，即岭回归再进行一次实验。前面讨论过如何对系数进行缩减，但这 
次将会看到如何用缩减法确定最佳回归系数。

交叉验证测试岭回归,代码如下:

def crossValidation(xArr,yArr,numVal=10):
    m = len(yArr)                           
    indexList = range(m)
    #errorMat保存不同训练样本(默认为10次不同的训练样本和测试样本)对应30个lambda(ridgeTest()将lambda按指数级递减得到30个不同lambda对应的相关系数)的rssError,初始化为(10,30)维零矩阵
    errorMat = zeros((numVal,30))#create error mat 30columns numVal rows
    for i in range(numVal):
        trainX=[]; trainY=[]
        testX = []; testY = []
        #shuffle()表示对range(m)重新洗牌，即让每次迭代对应的训练集和测试集都不一样
        random.shuffle(indexList)
        for j in range(m):#create training set based on first 90% of values in indexList
            if j < m*0.9: 
                trainX.append(xArr[indexList[j]])
                trainY.append(yArr[indexList[j]])
            else:
                testX.append(xArr[indexList[j]])
                testY.append(yArr[indexList[j]])
        wMat = ridgeTest(trainX,trainY)    #get 30 weight vectors from ridge
        for k in range(30):#loop over all of the ridge estimates
            matTestX = mat(testX); matTrainX=mat(trainX)
            meanTrain = mean(matTrainX,0)
            varTrain = var(matTrainX,0)
            matTestX = (matTestX-meanTrain)/varTrain #regularize test with training params
            yEst = matTestX * mat(wMat[k,:]).T + mean(trainY)#test ridge results and store
            errorMat[i,k]=rssError(yEst.T.A,array(testY))
            #print errorMat[i,k]
    meanErrors = mean(errorMat,0)#calc avg performance of the different ridge weight vectors
    #求出最小的meanErrors
    minMean = float(min(meanErrors))
    #meanErros==minMean的那一列对应的即是使误差最小的lambda，而这一列对应的即为找出最佳相关系数的wMat的行数
    bestWeights = wMat[nonzero(meanErrors==minMean)]
    #can unregularize to get model
    #when we regularized we wrote Xreg = (x-meanX)/var(x)
    #we can now write in terms of x not Xreg:  x*w/var(x) - meanX/var(x) +meanY
    xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
    meanX = mean(xMat,0); varX = var(xMat,0)
    #注意,岭回归将xMat和yMat标准化了，而线性回归不用标准化，所以我们要将数据"还原"
    unReg = bestWeights/varX
    print("the best model from Ridge Regression is:
",unReg)
    print("with constant term: ",-1*sum(multiply(meanX,unReg)) + mean(yMat))

来看一下整体的运行效果，在％獅如叫丫中输人程序清单8-6中的代码并保存，然后执行如下命令: 
 
可以看到，该结果与最小二乘法没有太大差异。我们本期望找到一个更易于理解的模型，显然没有达到预期效果。为了达到这一点，我们来看一下在缩减过程中回归系数是如何变化的，输人下面的命令 

这些系数是经过不同程度的缩减得到的。首先看第1行，第4项比第2项的系数大5倍，比第1项大57倍。这样看来，如果只能选择一个特征来做预测的话，我们应该选择第4个特征，也就是原始价格。如果可以选择2个特征的话，应该选择第4个和第2个特征。 
这种分析方法使得我们可以挖掘大量数据的内在规律。在仅有4个特征时，该方法的效果也许并不明显；但如果有100个以上的特征，该方法就会变得十分有效：它可以指出哪些特征是关键的，而哪些特征是不重的。

本章小结

与分类一样，回归也是预测目标值的过程。回归与分类的不同点在于，前者预测连续型变量，而后者预测离散型变量。回归是统计学中最有力的工具之一。在回归方程里，求得特征对应的最佳回归系数的方法是最小化误差的平方和。给定输人矩阵X，如果X的逆存在并可以求得的话，回归法都可以直接使用。数据集上计算出的回归方程并不一定意味着它是最佳的，可以便用预测值yHat和原始值y的相关性来度量回归方程的好坏。 
当数据的样本数比特征数还少时候，矩阵XTX的逆不能直接计算。即便当样本数比特征数多时，XTX的逆仍有可能无法直接计算，这是因为特征有可能高度相关。这时可以考虑使用岭回归，因为当XTX的逆不能计算时，它仍保证能求得回归参数。 
岭回归是缩减法的一种,相当于对回归系数的大小施加了限制。另一种很好的缩减法是lasso。Lasso难以求解，但可以使用计算简便的逐步线性回归方法来求得近似结果。 
缩减法还可以看做是对一个模型增加偏差的同时减少方差。偏差方差折中是一个重要的概念，可以帮助我们理解现有模型并做出改进，从而得到更好的模型。 
本章介绍的方法很有用。但有些时候数据间的关系可能会更加复杂，如预测值与特征之间是非线性关关系，这种情况下使用线性的模型就难以拟合。