四元数Quaterion

  四元数(Quaterion)

  罗朝辉 (http://www.cnblogs.com/kesalin/)

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1843年，William Rowan Hamilton发明了四元数，但直到1985年才有一个叫Ken Shoemake的人将四元数引入计算机图形学处理领域。四元数在3D图形学中主要用于旋转，骨骼动画等。简单地来说，四元数描述了一次旋转：绕任意一个轴旋转一个角度。

 

四元数的定义形式：(w, x, y, z)。假如，绕轴向量v(_x,_y,_z)正向（右手旋转法则）旋转角度p，则对应得四元数q为：

q = (cos(p/2), sin(p/2) * _x, sin(p/2) * _y, sin(p/2) * _z)

 

用四元数来表示旋转，不如用欧拉角（偏航/yaw，俯仰/pitch，横滚/ roll）来表示直接，但是用欧拉角来处理旋转有个不可回避的问题：万向节死锁。我们可以通过将欧拉角转换到四元数来避免这个问题，一次将3个欧拉角变换到独立的3个四元数，然后将这3个四元数相乘就可以得到最终的旋转四元数。

Qx = (cos(yaw/2), sin(yaw/2), 0, 0)

Qy = (cos(pitch/2), 0, sin(pitch/2), 0)

Qz = (cos(roll/2), 0, 0, sin(roll/2)

Q = Qx * Qy * Qz

 

在DirectX中提供了从欧拉角到四元数，从四元数到矩阵（Direct3D用旋转来实现旋转）的变换函数。下面参看：/Microsoft DirectX SDK/Include/d3dx9math.h的函数声明

 

从四元数变换到轴与旋转角

// Compute a quaternin's axis and angle of rotation. Expects unit quaternions.

void WINAPI D3DXQuaternionToAxisAngle

    ( CONST D3DXQUATERNION *pQ, D3DXVECTOR3 *pAxis, FLOAT *pAngle );

 

从旋转矩阵构造一个四元数

// Build a quaternion from a rotation matrix.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationMatrix

    ( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXMATRIX *pM);

 

从一个轴与旋转角构造一个四元数

// Rotation about arbitrary axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationAxis

    ( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV, FLOAT Angle );

 

从欧拉角构造一个四元数

// Yaw around the Y axis, a pitch around the X axis,

// and a roll around the Z axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll

    ( D3DXQUATERNION *pOut, FLOAT Yaw, FLOAT Pitch, FLOAT Roll );

 

下面我们来看看如何使用：若某物体要绕Y轴旋转fYaw，绕X轴旋转fPitch，绕Z轴旋转fRoll，那么对应的旋转矩阵matRot可以这么计算：

 

 

   D3DXQUATERNION qR;
   D3DXMATRIX matRot;
   D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll(&qR, fYaw, fPitch, fRoll);
   D3DXMatrixRotationQuaternion(&matRot, &qR);

有关四元数更详细的数学计算，转换过程可以参考下面的链接： 

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm