动态规划----最长上升子序列

有一个长为n的数列a0,a1... ...an-1。请求出这个序列中最长的上升子序列的长度。上升子序列指的是对于任意的i<j都满足ai<aj的子序列。
限制条件{ n[1,1000]、n[0,1000000] }
dp[i]表示以ai为末尾的最长上升子序列的长度
dp[i]=max( 1,max{dp[j]+1 | j<i且aj<ai })

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e3+1;
int n;
int a[MAXN];
int dp[MAXN];
int solve()
{
    int re=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        re=max(re,dp[i]);
    }
    return re;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d
",solve());
    return 0;
}

前面的dp针对最末位元素的最长的子序列。如果子序列的长度相同，那么最末位的元素较小的在之后会更加有优势，因此反过来针对相同长度，末尾元素较小会更加有优势。
dp[i]表示长度位i+1的上升子序列中末尾元素的最小值（不存在的话就时INF）

更新数组：开始将dp初始化为INF，然后由前到后逐个考虑数列的元素，对于每个aj，如果i=0或者dp[i-1]<aj的话，就用dp[i]=min(dp[i],a[j])进行更新。最终找到dp[i]<INF的最大值的i+1就是结果。直接实现时间还是，但还可以优化。首先dp数列中除INF之外是单调递增的，因此可以知道对于每个aj最多只需要一次更新。对于这次更新究竟在什么位置，不必逐个遍历，可以利用二分搜索，这样时间就变成了。

int dp[MAXN];
int solve()
{
    fill(dp,dp+n,INF);
    for(int i=0;i<n;i++)
        *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];
    return lowwer_bound(dp,dp+n,INF)-dp;
}