Luogu P1437 敲砖块

题目大意

　　在一个凹槽中放置了$n$层砖块，最上面的一层有$n$块砖，从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值，敲掉这块砖就能得到相应的分值，如图所示。

　　如果你想敲掉第$i$层的第$j$块砖的话，若$i=1$，你可以直接敲掉它，若$i＞1$，则你必须先敲掉第$i-1$层的第$j$和第$j+1$块砖。

　　你现在可以敲掉最多$m$块砖。输入$n$，$m$和这$n$层砖块（$1 leqslant n leqslant 50$，$1 leqslant m leqslant 500$），求得分最多能有多少。

题解

　　我们可以想到，对于第$j$列的砖块，只与第$j$列和第$j + 1$列有关。如果我们用$(i,j)$表示第$i$层第$j$个砖块，那么敲掉$(i,j)$，就相当于敲掉$(1...i,j)$，然后再敲掉$(i - 1, j + 1）$。

　　那我们可以从第$n$列到第$1$列进行dp，设$dp[i][j][k]$表示在第$j$到第$n$列，敲掉砖块第$i$层的第$j$个砖块，一共敲了$k$个砖快。容易得到状态转移方程

　　$$dp[i][j][k] = sum_{i' = 1}^{i} a[i'][j] + underset{max {0, i - 1 } leqslant i' leqslant n - j}{max} { dp[i'][j + 1][k - i] }$$

　　注意一下边界即可。

#include <iostream>

#define MAX_N (50 + 5)
#define MAX_M (500 + 5)

using namespace std;

int n, m;
int a[MAX_N][MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_N][MAX_M];
int mdp[MAX_N][MAX_N][MAX_M];
int ans;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= n - i + 1; ++j)
        {
            cin >> a[i][j];
            a[i][j] += a[i - 1][j];
        }
    }
    for(int j = n; j; --j)
    {
        for(int i = n - j + 1; i >= 0; --i)
        {
            for(int k = (i + 1) * i / 2; k <= m; ++k)
            {
                dp[i][j][k] = mdp[max(i - 1, 0)][j + 1][k - i] + a[i][j];
                mdp[i][j][k] = max(mdp[i + 1][j][k], dp[i][j][k]);
                ans = max(ans, dp[i][j][k]);
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}